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| Aufgabe | Überprüfen Sie die Winkeltreue der komplexen Abbildung f: z [mm] \to [/mm] cosh(z) im Punkt i für die zwei Kurven [mm] \gamma_1 [/mm] : [mm] t\to t+i(t^2+1), \gamma_2: t\to [/mm] it mit
- [mm] \infty< [/mm] t< [mm] \infty.
[/mm]
Die Tangenten der beiden Kurven am Schnittpunkt erfahren unter der Abbildung f eine Drehung um den Schnittpunkt.Wie groß ist der Drehwinkel. |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.Ich bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forumauf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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> Überprüfen Sie die Winkeltreue der komplexen Abbildung f:
> z [mm]\to[/mm] cosh(z) im Punkt i für die zwei Kurven [mm]\gamma_1[/mm] :
> [mm]t\to t+i(t^2+1), \gamma_2: t\to[/mm] it mit
> - [mm]\infty<[/mm] t< [mm]\infty.[/mm]
> Die Tangenten der beiden Kurven am Schnittpunkt erfahren
> unter der Abbildung f eine Drehung um den Schnittpunkt.Wie
> groß ist der Drehwinkel.
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.Ich bitte um Hilfe.
> Gruß
Hallo Student18,
ich würde sofort empfehlen, die Parameter der
beiden Kurven mit unterschiedlichen Buchstaben
zu bezeichnen, etwa s und t anstatt beidemal t !
Zuerst solltest du zeigen, dass die beiden Kurven
tatsächlich durch den Punkt i verlaufen. Für welche
Parameterwerte [mm] s_0 [/mm] bzw. [mm] t_0 [/mm] ist dies der Fall ?
Mache dir auch klar, welches der Punkt f(i) ist.
Um dann Informationen über die Tangenten-
richtungen zu erhalten, musst du natürlich
(bildlich gesprochen) die Lupe bzw. ein Mikroskop
mit variablem Zoom anlegen und die ursprüngliche
und die dazu gehörige Bildkurve in der Umgebung
der Punkte zu benachbarten Parameterwerten
betrachten. Stichwort: Limites mit [mm] $s\to s_0$ [/mm] bzw. [mm] $t\to t_0$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Hallo,
[mm] \gamma_2 [/mm] steht für eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 1.
Aber wie sieht [mm] \gamma_1 [/mm] aus?
Ich bitte um Hilfe.
Gruß
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> Hallo,
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> [mm]\gamma_2[/mm] steht für eine Gerade durch den Ursprung mit der
> Steigung 1.
Nein.
[mm] \gamma_2 [/mm] ist die imaginäre Achse (also nicht Steigung 1,
sondern Steigung unendlich bzw. nicht definiert).
> Aber wie sieht [mm]\gamma_1[/mm] aus?
Wenn man den Term für [mm] \gamma_1 [/mm] in Real- und Imaginärteil
aufspaltet, sieht man sofort, dass diese Kurve die
Parabel $\ Im(z)\ =\ [mm] \left(Re(z)\right)^2+1$ [/mm] ist oder einfach [mm] y=x^2+1
[/mm]
mit $\ x=Re(z)$ und $\ y=Im(z)$.
Offensichtlich schneiden sich [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] im
Punkt i der z-Ebene unter einem rechten Winkel.
Nun müsste man sich also weiter mit den Bildkurven,
sagen wir [mm] $\Gamma_1:=f(\gamma_1)$ [/mm] und [mm] $\Gamma_2:=f(\gamma_2)$ [/mm] ,
ihrem Schnittpunkt und ihrem Schnittwinkel in der
w-Ebene beschäftigen.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
Welchen Schnittpunkt haben die beiden Bildkurven und wie ist ihr Schnittwinkel?
Gruß
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> Hallo,
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> Welchen Schnittpunkt haben die beiden Bildkurven und wie
> ist ihr Schnittwinkel?
>
> Gruß
Hallo,
wenn ich das Forum recht verstehe, wäre es an Dir, das auszurechnen. Oder es zumindest zu versuchen und die Versuche hier zu posten.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Fr 17.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Wenn nur gefragt ist, ob f im Punkt i winkeltreu ist, so mußt Du untersuchen, ob f in einer Umgebung von i holomorph ist (das ist natürlich der Fall) und ob $f'(i) [mm] \ne [/mm] 0$ ist.
FRED
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> Wenn nur gefragt ist, ob f im Punkt i winkeltreu ist, so
> mußt Du untersuchen, ob f in einer Umgebung von i
> holomorph ist (das ist natürlich der Fall) und ob [mm]f'(i) \ne 0[/mm]
> ist.
>
> FRED
Hallo FRED,
falls bekannt ist, dass aus Holomorphie (in einem
Punkt [mm] z_0) [/mm] auch die Winkeltreue in dem betreffenden
Punkt folgt (unter der Zusatzbedingung [mm] f'(z_0)\ne0), [/mm]
ist dies klar. Dabei müsste man sich auf einen
bereits bewiesenen Satz stützen können.
Vielleicht wurde aber eben gerade dieser Satz noch
nicht bewiesen, sodass man sich selber noch etwas
Konkretes klar machen muss - durch einen detail-
lierten Nachweis.
LG , Al
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Hallo,
ich habe berechnet:
f(z)=cosh(z)
f'(z)=sinh(z)
[mm] f'(i)=sinh(i)\ne [/mm] 0
[mm] f'(i)=isin(1)\ne [/mm] 0
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:13 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe berechnet:
>
> f(z)=cosh(z)
> f'(z)=sinh(z)
> [mm]f'(i)=sinh(i)\ne[/mm] 0
> [mm]f'(i)=isin(1)\ne[/mm] 0
Ja
FRED
>
> Gruß
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