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Forum "Analysis-Sonstiges" - Schnittwinkel zweier Fkt-nen
Schnittwinkel zweier Fkt-nen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Di 10.09.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gesucht sind die Schnittwinkel der Funktionen f und g an ihren jeweiligen Schnittpunkten.

f(x)= [mm] -x^2 [/mm] +8x -11

g(x) = x-1

Moin, Moin!

zunächst ermittle ich die Schnittpunkte von f und g.

f(x) = g(x)     =>  (2 / 1)  und  (5 / 4)


Dann bilde ich die Ableitungen

f ' (x) = -2x +8  

g ' (x) = 1


I. Die Tangentengleichungen an der Stelle 2 lauten

[mm] t_{2f} [/mm] = 4x - 7

[mm] t_{2g} [/mm] = x - 1   [wobei die Tangente mit der Geradengleichung übereinstimmt]


II. Die Tangentengleichungen an der Stelle 5 lauten

[mm] t_{5f} [/mm] = -2x +14

[mm] t_{5g} [/mm] = x - 1   [wobei die Tangente mit der Geradengleichung übereinstimmt]


Skizze siehe Anhang!

[a]Dateianhang 1

Mithilfe der Formel  tan [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{m_2 - m_1}{1 + m_1*m2} [/mm]  erhalte ich

I.  tan [mm] (\alpha_2) [/mm] = [mm] \bruch{4 - 1}{1 + 1*4} [/mm]

[mm] \alpha_2 [/mm] = 30,96°   wenn ich [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] vertausche erhalte ich  -30,96°

Muss ich hier immer den Betrag nehmen? Wie kann ich entscheiden, was [mm] m_1 [/mm] und was [mm] m_2 [/mm] ist???    

Ferner müsste ich bei -30,96° nicht 180° hinzuzählen, um auf den richtigen Winkel zu kommen???

II.  tan [mm] (\alpha_5) [/mm] = [mm] \bruch{-2 - 1}{1 + 1*(-2)} [/mm]  

[mm] \alpha_1 [/mm] = 71,57°   wenn ich [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] vertausche erhalte ich  -71,57°

Dieselbe Frage wie oben. Müsste ich hier nicht -71,57° + 180° = 108,43° rechnen???


Ich bin verwirrt. Die Vektorrechnung liefert ein eindeutiges Ergebnis, nämlich 30,96° und 108,43° ?!   Aber wie komme ich mithilfe der Analysis immer zum richtigen Ergebnis, also nicht nur zufälligerweise?


Vielen Dank für eure Hilfe!


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 Di 10.09.2019
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Grundsätzlich kannst du diese Aufgabe so angehen, wie die Berechnung des Steigungswinkels einer einzelnen Funktion in einem Punkt - bloß, daß du jetzt zwei Steigungswinkel hast, und die voneinander abziehen mußt. Das ist also nicht viel anders als deine andere Aufgabe, und hilft beim Verständnis.
Mit ein paar trigonometrischen Umformungen kommt man auch auf die hier genannte Tangens-Formel.

Kombiniert gehst hier vom Schnittpunkt  auch einen Schritt nach rechts, und dann [mm] m_1 [/mm] Schritte nach oben bzw [mm] m_2 [/mm] Schritte nach unten. Der obere und untere Punkt definiert zusammen mit dem Schnittpunkt ein Dreieck, und der Winkel der linken Ecke ist der gesuchte.
(Störe dich nicht daran, daß [mm] m_1 [/mm] oder [mm] m_2 [/mm] auch negativ sein können, dann mußt du eben in die umgekehrte Richtung hoch oder runter gehen)

Auch hier: Wie kommst du eigentlich auf die 180°?

Jetzt zum positiven / negativen Ergebnis: Der Winkel wird gemessen zwischen einer ersten Graden und einer zweiten - und zwar im mathematisch positiven Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn! Liegt die erste Funktion ab dem Schnittpunkt also unter der zweiten, dann sollte der Winkel positiv sein, sonst negativ. Und dann ist auch klar, daß die Vertauschung von erster und zweiter Funktion zu einer Umkehr des Vorzeichens des Winkels führt.


Bezug
        
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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:08 Mi 11.09.2019
Autor: fred97

Üblicherweise berechnet sich der Schnittwinlel über

[mm] $\arctan \left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.$ [/mm]

  

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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Mi 11.09.2019
Autor: hase-hh

Moin,

> Üblicherweise berechnet sich der Schnittwinlel über
>  
> [mm]\arctan \left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.[/mm]
>  

Wenn das so ist, dann erhalte ich stets einen Winekl zwischen 0° und 90°. Dies ist aber laut Vektorrechnung bei an der Stelle x=5  bzw. dem Punkt (5/4)  108,43°  ???

[Anmerkung: wie gesagt, die aufgabe soll mit Analysis nicht mit Vektorrechnung gelöst werden...]

[mm] f_5 [/mm] ' :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 4} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -2} [/mm]

[mm] g_5 [/mm] ' :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 4} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 1} [/mm]

cos [mm] (\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{1 \\ -2}*\vektor{1 \\ 1}}{\wurzel{1^2 +(-2)^2}*\wurzel{1^2+1^2}} [/mm]

[mm] \varphi \approx [/mm]  108,43°

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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mi 11.09.2019
Autor: Steffi21

Hallo,

Du hast die Funktionen

[mm] f(x)=-x^2+8x-11 [/mm] (blau)
g(x)=x-1 (rot)
und
h(x)=4x-7 (grün)

nun hast Du

[mm] m_1=4 [/mm] und [mm] m_2=1 [/mm]

nun die Formel von Fred

[mm] arctan(\alpha)=..... [/mm]

[mm] arctan(\alpha)=\bruch{3}{5} [/mm]

[mm] \alpha=30,96^0 [/mm]

Steffi

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Mi 11.09.2019
Autor: hase-hh

Erstmal vielen Dank für die Antwort.

Die größte Verwirrung entsteht bei mir allerdings beim zweiten Schnittpunkt, d.h. an der Stelle x=5  bzw. am Punkt  (5/4)...

!?

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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Mi 11.09.2019
Autor: Steffi21

Hallo, anlaog zum Punkt (2;1), lege an g(x) an der Stelle x=5 die Tangente, sie lautet: t(x)=-2x+14, somit hast Du wieder [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] Steffi

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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mi 11.09.2019
Autor: hase-hh

Moin,

ja die Tangentengleichung, die ich mit [mm] f_5 [/mm] '  (x) bezeichnet habe, lautet

f '(x) = -2x +14.


[mm] m_1 [/mm] = 1 und [mm] m_2 [/mm] = -2

tan [mm] (\alpha)= \bruch{1 -(-2)}{1+1*(-2)} [/mm] = - 3

[mm] \alpha \approx [/mm] - 71,57°    


bzw. mit Betragsstrichen

tan [mm] (\alpha)= [/mm] | [mm] \bruch{1 -(-2)}{1+1*(-2)} [/mm] | = | - 3 |

[mm] \alpha \approx [/mm]  71,57°    


Wie gesagt, mit Vektorrechnung kommt heraus:  108,43°  !!


???




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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Mi 11.09.2019
Autor: chrisno


> ....
> Wie gesagt, mit Vektorrechnung kommt heraus:  108,43°  !!
>  

Dreh mal den zweiten Richtungsvektor um ....

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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:57 Do 12.09.2019
Autor: hase-hh

Naja, natürlich könnte ich den zweiten Richtungsvektor umdrehen. So würde ich den Nebenwinkel erhalten.

Allerdings komme ich dann nicht auf das richtige Ergebnis, nämlich den tatsächlichen Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Dafür müssen nämlich beide Vektoren vom Winkel wegzeigen, oder nicht?!



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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Do 12.09.2019
Autor: chrisno

Eine Gerade kannst Du mit Stütz- und Richtungsvektor beschreiben. Wenn du dann beim Richtungsvektor das Vorzeichen umkehrst, hast du die gleiche Gerade. Soll dann der Schnittwinkel mit einer anderen Geraden davon abhängen, welchen der beidebn Richtungsvektoren du gewählt hast?
Siehst du den Bezug zu den Betragsstrichen in der Formel, die Fred geschrieben hat?


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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Fr 13.09.2019
Autor: hase-hh

Richtig ist, die Gerade bleibt die gleiche, unabhängig von der Orientierung des Richtungsvektors.

Also die Vektoren  [mm] \vektor{-2 \\ 5} [/mm]  und   [mm] \vektor{2 \\ -5} [/mm]   haben dieselbe Richtung.


Und ja, selbstverständlich hängt der Schnittwinkel der Geraden davon ab, welchen der beiden Richtungsvetkoren ich wähle.

Gut, ohne sachinhaltlichen Zusammenhang nehme ich stets den kleineren Schnittwinkel zweier Geraden.
Mit Sachzusammenhang kann dieses Vorgehen fatale Folgen haben bzw. führt dieses Vorgehen schlicht zu falschen Eregbnissen.


Nimm ein stumpfwinkliges Dreieck.  A(2 / 0)  B(12 / 0)  C(8 / 3)

Um den stumpfen Winkel (hier bei C) zu erhalten... muss ich sicherstellen, dass die Vektoren beide vom Winkel wegzeigen. Falls einer der beiden Vektoren zum Winkel hinzeigt, erhalte ich das falsche Ergebnis, nämlich den entsprechenden spitzen Nebenwinkel.


Ich stelle die Vektoren (bzw. Hilfsgeraden) auf:

[mm] \overrightarrow{CA} [/mm]  = [mm] \vektor{-6 \\ -3} [/mm]   [bzw. g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 3} +r*\vektor{-6 \\ -3}] [/mm]

[mm] \overrightarrow{CB} [/mm] =  [mm] \vektor{4 \\ -3} [/mm]    [bzw. h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 3} +r*\vektor{4 \\ -3}] [/mm]


cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{-6 \\ -3}*\vektor{4 \\ -3}}{\wurzel{(-6)^2+(-3)^2}*\wurzel{4^2+(-3)^2}} [/mm]

  =>  [mm] \gamma \approx [/mm] 116,6°



















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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Do 12.09.2019
Autor: HJKweseleit

Wenn es 3 Uhr ist, ist dann der Winkel zwischen beiden Uhrzeigern 90 °, - 90 °, 270 ° oder -270 °?

Alle 4 Möglichkeiten können als gleichwertig angesehen werden! Je nach Startzeiger und Drehsinn können diese Ergebnisse erscheinen.

Man kann sich allerdings bei Winkeln auf die kleinste positive Zahl einigen, um einen Standardausdruck zu erhalten.

Genau so verhält es sich mit deinen Überlegungen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, kannst du den kleineren Winkel zwischen ihnen wählen, sagen wir mal 40 °, oder den größeren, also 140 ° (hier im Gegensatz zu den Zeigern auf 180 ° ergänzen, weil die Geraden ja durchgehen), oder ebenfalls die negativen Werte nehmen. Auch die Vektoren kannst du als Richtungsangaben umdrehen, dabei hast du wieder 4 Kombinationsmöglichkeiten. Rechnerisch sind alle 4 gleichwertig, man kann sich aber auf z.B. obigen Vorschlag festlegen. Grübel also nicht weiter nach, es gibt hier mehrere Möglichkeiten.

Allerdings gibt es Anwendungen in der Geometrie, wo nur eine dieser Mgl. sinnvoll ist und die man dann auswählen muss.



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Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Funktionen haben keine Winkel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mi 11.09.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Nur zum Sprachlichen:

Funktionen haben weder Schnittpunkte noch Schnittwinkel !

Was gemeint ist, sind Schnittpunkte und Schnittwinkel von
Funktions-Graphen !  (Das sind die Kurven, mit welchen man
bestimmte Arten von reellen (in der Regel stetigen) Funktionen
in einer Zeichenebene repräsentieren kann)

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Schnittwinkel zweier Fkt-nen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 Do 12.09.2019
Autor: hase-hh

Ok, danke für den Hinweis. :-)

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