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| Aufgabe | Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen
x + 2z = 3
2y + z = 1 |
Hallo ihr,
ich komm bei diesem Beispiel leider vorn und hinten nicht mehr weiter. Meine bisherigen Berechnungen ergaben folgendes:
1) Habe lineares Gleichungssystem aufgestellt.
2) Habe für [mm] y=\bruch{1}{4}*t [/mm] definiert.
3) Daraus ergab sich für x: x= 1+1t und z: [mm] z=1-\bruch{t}{2}
[/mm]
4) Habe die Schnittgerade g ermittelt: [mm] \vec{g} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] + [mm] t\vektor{1\\-\bruch{1}{2}\\+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nun ja, daraus kann ich das Ergebnis von [mm] \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} [/mm] ermitteln, die beiden Normalenvektoren hingegen nicht. Weiter komm ich leider nicht mehr.
Ich hoffe, ihr könnt mir hier weiterhelfen. Die Rechnung ist verdammt schwierig (find ich), und gutes Anschauungsmaterial spucken Google und meine Bücher auch nicht raus.
Freu mich auf eine Antwort.
Gruß, Brauni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 03.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Braunstein!
Die Normalenvektoren der beiden Ebenen lassen sich doch fast direkt "ablesen:
[mm] $E_1 [/mm] \ : \ x + 2z \ = \ [mm] \red{1}*x+\blue{0}*y+\green{2}*z [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{1}\\ \blue{0} \\ \green{2}}*\vec{x} [/mm] \ = \ 3$
Und mit den beiden Normalenvektoren brauchst Du dann nur noch in die Winkelformel gehen ...
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen
x + 2z = 3
2y + z = 1 |
Hey,
vielen Dank. Ja, sogesehen ... hast du Recht :) Nun, ich kann mit diesen Gleichungen noch nicht so flexibel herumrechnen.
Mir is während dem Kochen aber was Andres eingefallen. Ist es möglich, dass diese Gleichungen die Ebenen, die aufgespannt werden, beschreiben? Denn dann kann ich ja für 1) x=0 und 2) y=0 einsetzen. Das ergibt dann für 1) z = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und 2) z = 1, naja, und die andren Variablen kann ich dann durch Einsetzen berechnen, oder? Dann hab ich ja im Grunde alle Vektoren, die mir die beiden Ebenen beschreiben, oder?
Gruß, brauni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 So 03.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen
>
> x + 2z = 3
> 2y + z = 1
> Hey,
>
> vielen Dank. Ja, sogesehen ... hast du Recht :) Nun, ich
> kann mit diesen Gleichungen noch nicht so flexibel
> herumrechnen.
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> Mir is während dem Kochen aber was Andres eingefallen. Ist
> es möglich, dass diese Gleichungen die Ebenen, die
> aufgespannt werden, beschreiben? Denn dann kann ich ja für
> 1) x=0 und 2) y=0 einsetzen. Das ergibt dann für 1) z =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] und 2) z = 1, naja, und die andren Variablen
> kann ich dann durch Einsetzen berechnen, oder? Dann hab ich
> ja im Grunde alle Vektoren, die mir die beiden Ebenen
> beschreiben, oder?
>
> Gruß, brauni
Das ist durchaus korrekt.
Ebenen kann man auf drei verschieden Weise angeben.
1) In der Parameterform. Besonders geeignet, wenn man die Ebene anhand dreier Punkte A, B und C erstellen will, zum Rechnen weniger.
[mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}
[/mm]
2) In der Normalenform:
E: [mm] \vec{x}*\vec{n}=d
[/mm]
Besonders geeignet zur Punktprobe und zur Berechnung von Schnittgeraden, Schnittwinkeln, generell halt zum "Rechnen"
Hier gilt: [mm] \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] \times [/mm] beteichnet hier das Kreuzprodukt.
und [mm] d=\vec{n}*\vec{a}, [/mm]
* ist das Skalarprodukt.
3) In der Koordinatenform.
Das ist im grunde nur das Skalarprodukt der Normalenform ausgerechnet
E: [mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=d
[/mm]
Hilft das weiter?
Marius
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| Aufgabe | Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen
x + 2z = 3
2y + z = 1 |
Vielen Dank für die Infos.
Ich hab aber noch eine Frage zur Normalform. Ich hab nun, wie von Loddar empfohlen, das Beispiel ausgerechnet. Er hat gemeint, dass der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] (\vec{a}*\vec{x}=c) [/mm] - der Normalenvektor ist. Für mich ist das aber ein Vektor, der die Fläche mit Hilfe eines anderen Vektors, nämlich [mm] \vec{x}, [/mm] aufspannt. Der Normalenvektor entsteht ja durch Kreuzprodukt von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{x}, [/mm] wenn ich mich nicht täusche.
Ich hab außerdem meine Probleme, das Ganze grafisch darzustellen ...
1) Ich habe die beiden Gleichungen.
2) Ich kann aus jeder Gleichung einen Vektor ziehen. [mm] \vec{a_{1}} [/mm] und [mm] \vec{a_{2}} [/mm]
3) Somit hab ich nur zwei Vektoren, mit denen ich den Schnitt zweier Ebenen berechnen soll.
Mir fehlt ja von jeder Ebene der zweite Vektor. Wie kann ich den berechnen? Ist das überhaupt möglich?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, brauni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Di 05.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Moin Brauni!
Ich denke, Du musst Dir mal etwas mehr über die Normalenform bzw. den Normalenvektor klarwerden.
Dieser Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (= "normal") auf die betrachtete Ebene und auch auf beide Richtungsvektoren dieser Ebene steht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[]](/images/popup.gif) Bild-Quelle
Oder siehe auch hier .
Von daher wird hier je Ebene auch nur ein Vektor benötigt (im Gegensatz zu den beiden Richtungsvektoren in der Parameterform).
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Di 05.12.2006 | | Autor: | Braunstein |
Hey,
herzlichen Dank für die Tipps, vor allem für die Links. Sind tolle Websites, die sogar einen Studierenden mal weiterbringen können.
Nochmals vielen Dank.
Gruß, Brauni
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