SchrägerWurf am Hang < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe | Eine Schneeballschlacht findet auf einem Hügel statt, der unter dem Winkel [mm]\alpha[/mm] gegen die Horizontale ansteigt. Dabei wird ein Schneeball von der Höhe Null (angenommen) unter unter dem Winkel [mm]\Phi >\alpha [/mm] hangaufwärts geworfen (siehe Zeichnung). Seine Anfangsgeschwindigkeit ist [mm]v_0[/mm], die Luftreibung ist zu vernachlässigen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
1. Nach welcher Zeit erreicht der Schneeball den höchsten Punkt seiner Bahn?
2. Nach welcher Zeit trifft der Schneeball auf die Hügeloberfläche?
3. In welchem Abstand [mm]w[/mm] vom Startpunkt geschieht dieses?
4. Wie groß muss [mm]\Phi[/mm] sein, damit die Wurfweite maximal wird? |
Hallo!
Gleich vorab bin mir unsicher ob das hier das richtige Unterforum ist!
Da meine folgender Text recht umfangreich ist, habe ich ihn zur Besseren Orientierung nach meiner Vorgehensweise nummeriert.
Am besten wenn etwas kritisiert/angemerkt werden soll den Abschnitt (in etwa: zu II.1 [Text ....]) nennen, dass sollte beiden Seiten nutzen damit keine Missverständnisse oder Verwirrungen aufkommen.
Wer wenig Zeit/Lust hat sollte sich eher nur den Lösungsversuch der 3. und 4. Aufgabe betrachten, bei dieser bin ich mir am meisten unsicher bzw. komme ich nicht so recht weiter!
Danke!
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I. Vorüberlegungen:
0. Die Beantwortung der Fragen 1-4 ist meiner Meinung nach daran gebunden, wie die Flugbahn und der Hügel durch jeweils ihre Winkel ( [mm] \Phi [/mm] bei der Flugbahn, der "Abschusswinkel" und [mm] \alpha [/mm] beim Hügel) und jeweils [mm] v_0 [/mm] des Schneeballes für die Flugparabel bestimmt werden.
Dadurch ergibt sich auch ein Schnittpunkt (x ungleich 0) beider Funktionen (z(x) für Flugparabel und h(x) für Hügel) von dem dann die Größen:
1. z_max (x) (Aufgabe 1, gesucht t, den Zeitpunkt maximaler Höhe)
2. z(x)=h(x) (aufgabe 2, der Schnittpunkt)
3. Abstand w (Aufgabe 3, wenn ich den Auftreffpunkt am Hügel habe , mit dem Satz des Pytagoras und x-koordinate)
4. x_max [mm] (\Phi) [/mm] (aufgabe 4, gesucht [mm] \Phi)
[/mm]
abhängen.
II. Verwendete Gleichungen:
v=Geschwindigkeit
t=Zeit
g=Erschwerebeschleunigung
[mm] \alpha= [/mm] Winkel des Hügels zur Horizontalen
[mm] \Phi= [/mm] Abwurfwinkel zur Horizontalen
1. Gleichungen schräger Wurf (in einer Ebene) abhängig von t:
x(t)= [mm] v_{0t}*t
[/mm]
z(t)= [mm] -0,5*g*t^2 [/mm] + [mm] v_{0z}*t+Höhe [/mm] (wobei höhe=0)
2. Gleichungen Funktionen (Flugbahn/Hügel) in Abhängigkeit von x-Wert:
z(x)= [mm] -\bruch{g*x^2}{2*v_{0x}^2}+\bruch{v_{0z}*x}{v_{0x}}
[/mm]
h(x)= tan [mm] (\alpha) [/mm] * x
3. Trigonometrie der Geschwindigkeiten [mm] (v_0 [/mm] , [mm] v_{0x}, v_{0z}) [/mm] und Abwurfwinkel [mm] (\Phi)
[/mm]
[mm] v_0 \mathrel{\widehat{=}} [/mm] Hypothenuse
[mm] v_{0z} \mathrel{\widehat{=}} [/mm] Gegenkathede
[mm] v_{0x} \mathrel{\widehat{=}} [/mm] Ankathede
=>
[mm] v_{0z}= [/mm] sin [mm] (\Phi) [/mm] * [mm] v_0
[/mm]
[mm] v_{0x}= [/mm] cos [mm] (\Phi) [/mm] * [mm] v_0
[/mm]
[mm] \bruch{v_{0z}}{v_{0x}} [/mm] = tan [mm] (\Phi)
[/mm]
4. x-Wert des Scheitelpunktes:
[mm] x_s [/mm] = [mm] \bruch{v_0^2 * sin (2*\Phi}{2*g} [/mm] = [mm] \bruch{v_0^2 * sin (\Phi) * cos (\Phi)}{g} [/mm] (aus Buch)
5. x-Wert des Schnittpunktes
[mm] 0=-\bruch{g*x^2}{2*(cos (\Phi))^2*v_0^2} [/mm] + (tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha)) [/mm] * x
0= x [mm] [-\bruch{g*x}{2*(cos (\Phi))^2*v_0^2} [/mm] + tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha)]
[/mm]
entweder
0=x (uninteresant)
oder
[mm] 0=[-\bruch{g*x}{2*(cos (\Phi))^2*v_0^2} [/mm] + tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha)] [/mm] | + [mm] \bruch{g*x}{2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}
[/mm]
[mm] \bruch{g*x}{2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}= [/mm] tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha) [/mm] | * 2*(cos [mm] (\Phi))^2*v_0^2
[/mm]
g*x = (tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha)) [/mm] * 2*(cos [mm] (\Phi))^2*v_0^2 [/mm] | :g
x= [mm] \bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{g}
[/mm]
III. Lösungsversuche:
1. Aufgabe
a) Ansatz:
x(t)= [mm] v_0 [/mm] * cos [mm] (\Phi) [/mm] * t
=>
t = [mm] \bruch{x}{v_0 * cos (\Phi}
[/mm]
Nun muss ich herausfinden was für ein x man einsetzen kann ohne das es physikalisch unsinnig wird. Deshalb Fallunterscheidung für [mm]\Phi \gtrsim \alpha [/mm]!
b) Fallunterscheidung:
Schnittpunkt beider Funktionen liegt hinter dem Scheitelpunkt
oder
Schnittpunkt beider Funktionen liegt vor dem Scheitelpunkt
oder
Spezialfall: [mm] z(x_s)-tan (\alpha) [/mm] * [mm] x_s=0 [/mm]
=> d.h. Schnittpunkt beider Funktionen bei [mm] x_s
[/mm]
Ergebnis: [mm] \bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)} [/mm] = 2 bzw Umkehrfunktion davon.
Ich habe nun kleinere bzw. größere Werte als 2 in ein Matheprogramm eingeben, wobei man an den Zeichnungne erkennt:
[mm] \bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)} [/mm] > 2 => Scheitelpunkt vor Schnittpunkt
[mm] \bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)} [/mm] = 2 => Scheitelpunkt= Schnittpunkt
[mm] \bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)} [/mm] < 2 => Scheitelpunkt nach Schnittpunkt (Scheitelpunkt liegt "unter" dem Hügel!)
c) Zusammenfassung:
x entspricht somit dem x-Wert des höchstmöglichsten Punktes!
-für [mm] \bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)}\geq2 [/mm] ist das der x-Wert des Scheitlpunktes
-für [mm] \bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)} [/mm] < 2 ist das der x-Wert des Schneidepunktes beider Funktionen
d) Lösung:
t [mm] (\bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)}\geq2)
[/mm]
[mm] =\bruch{v_0^2 * sin (\Phi) * cos (\Phi)}{v_0*cos (\Phi) *g}
[/mm]
[mm] =\bruch{v_0 * sin (\Phi)}{g}
[/mm]
t [mm] (\bruch{tan (\Phi)}{tan (\alpha)} [/mm] < 2)
= [mm] \bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{v_0*cos(\Phi)^2*g}
[/mm]
[mm] =\bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))*v_0}{g}
[/mm]
2. Aufgabe
a) Ansatz
Hier gilt immer noch
t = [mm] \bruch{x}{v_0 * cos (\Phi}
[/mm]
wobei nun der x-Wert des Schnittpunktes in jedem Fall zutrifft
b) Lösung
t = [mm] \bruch{\bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{g}}{v_0 * cos (\Phi}
[/mm]
t = [mm] \bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))*v_0}{g}
[/mm]
3. Aufgabe:
a) Ansatz
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie man anhand der Skizze leicht erkennen kann bilden der Abstand [mm]w[/mm], x-Wert des Schnittpunktes und die senkrechte am x-Wert des Schnittpunktes (z(x)) ein rechtwinkliges Dreieck.
bei solch einem gilt:
cos [mm] (\alpha)=\bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse}
[/mm]
b) Lösung
in diesem Falle:
cos [mm] (\alpha)=\bruch{x}{w}
[/mm]
d.h.
w= [mm] \bruch{x_{Schnittpunkt}}{cos (\alpha)}
[/mm]
=>
w= [mm] \bruch{\bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{g}}{cos (\alpha)}
[/mm]
w= [mm] \bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{g*cos(\alpha)}
[/mm]
4. Aufgabe:
a) Ansatz
Die Wurfweite interpretiere ich als [mm] x_{Schnittpunkt} [/mm] / x-Wert des Schnittpunktes diese soll maximiert werden.
Anders ausgedrückt: Ich suche die Nullstelle der partiellen Differenzierung von [mm] x_{Schnittpunkt} [/mm] nach [mm] \Phi
[/mm]
d.h. dx [mm] \partial \Phi [/mm] = 0
und da ich mich imer noch im rechtwinkligen Dreieck befinde:
cos [mm] (\alpha)=\bruch{x}{w}
[/mm]
=>
x=w*cos [mm] (\apha)
[/mm]
b) Lösung
1. Schritt: Vereinfachen
x=w*cos [mm] (\apha)
[/mm]
[mm] x=\bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{g*cos(\alpha)}*cos (\alpha)
[/mm]
[mm] x(\Phi)=\bruch{(tan (\phi) - tan (\alpha)) * 2*(cos (\Phi))^2*v_0^2}{g}
[/mm]
2. Schritt: Differenzieren nach Produkt-Regel
Da ich nur nach [mm] \Phi [/mm] differenziere bleiben alle anderen als konstanten Erhalten (als multiplikatoren) oder fallen weg (als positive/negative Summanten)
const = c = [mm] \bruch{2*v_0^2}{g}
[/mm]
[mm] x'(phi)=u(\Phi)*v'(\Phi)+v(\Phi)*u'(\Phi)
[/mm]
[mm] u(\Phi)=(tan (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha))
[/mm]
[mm] u'(\Phi)= \bruch{1}{(cos (\Phi))^2}
[/mm]
[mm] v(\Phi)= [/mm] (cos [mm] (\Phi))^2 [/mm] (Kettenregel)
[mm] v'(\Phi)=(-2*cos (\Phi)*sin (\Phi)
[/mm]
=>
x'(phi)=[(tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha))*-2*cos (\Phi)*sin (\Phi)+(cos (\Phi))^2*\bruch{1}{(cos (\Phi))^2}*c
[/mm]
3. Schritt; 2. Vereinfachen
x'(phi)=[(tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha))*-2*cos (\Phi)*sin (\Phi)+(cos (\Phi))^2*\bruch{1}{(cos (\Phi))^2}*c
[/mm]
x'(phi)=[(tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha))*-2*cos (\Phi)*sin (\Phi)+1]*c
[/mm]
da 2*cos [mm] (\Phi)*sin (\Phi) [/mm] = sin [mm] (2*\Phi)
[/mm]
=>
x'(phi)=[(tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha))* [/mm] - sin [mm] (2*\Phi)+1]*c
[/mm]
c) Problem bei Nullstellenbestimmung
Weiter kann ichs leider nicht vereinfachen, zumindest komme ich mit umschreiben der Winkel (Summe/Produkt/Quotient) etc nicht weiter.
Somit bleibe ich bei
0=[(tan [mm] (\phi) [/mm] - tan [mm] (\alpha))* [/mm] - sin [mm] (2*\Phi)+1]*c
[/mm]
stehen.
Kann vielleicht jemand einen Fehler in der Ableitung finden, den ich übersehen habe?
Oder liegt es am falschen Ansatz bzw. falschen Gleichungen/Wert die ich von Aufgabe 3 bzw. noch früheren Aufgabe übernommen habe?
Wäre bei Hilfe sehr dankbar!
MfG
Mampf
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 15.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Mampf
Es ist alles richtig soweit. Da es bei Aufgabe 4. auf die Konstanten c nicht ankommt, kann man sich auf die Funktion [mm] $f(\phi)=\cos^2(\phi)(\tan(\phi)-\tan(\alpha))$ [/mm] konzentrieren. Hier lohnt es sich fuer die Ableitung eine Faktor [mm] $\cos(\phi)$ [/mm] in den zweiten Faktor zu verschieben, um den Tangens aufzuloesen: [mm] $f(\phi)=\cos^2(\phi)(\tan(\phi)-\tan(\alpha))=\cos(\phi)(\sin(\phi)-\cos(\phi)\tan(\alpha))$.
[/mm]
Ableiten mit der Produktregel ergibt: [mm] $f'(\phi)=-\sin(\phi)(\sin(\phi)-\cos(\phi)\tan(\phi))+\cos(\phi)(\cos(\phi)+\sin(\phi)\tan(\alpha))$ [/mm] oder alles ausmultipliziert und zusammengefasst:
[mm] $f'(\phi)=\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)+2\sin(\phi)\cos(\phi)\tan(\alpha)$
[/mm]
Jetzt benutzt man die trigonometrischen Identitaeten: [mm] $\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)=\cos(2\phi)$ [/mm] und [mm] $2\sin(\phi)\cos(\phi)=\sin(2\phi)$ [/mm] und erhaelt:
[mm] $f'(\phi)=\cos(2\phi)+\sin(2\phi)\tan(\alpha)$.
[/mm]
Jetzt ist die Nullstellenbestimmung nicht mehr schwierig. Noch ein kleiner Tipp: Um das Resultat "schoen" darzustellen kann man ausnuetzen, dass wenn [mm] $\tan(\alpha)\tan(\beta)=-1$, [/mm] dann [mm] $\beta=\alpha\pm 90^\circ$ [/mm] gelten muss (wenn die Winkel im Bereich von 0-180 Grad sind).
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 20.11.2010 | | Autor: | eintopf |
HAllo mampf,
muss es bei "3. Aufgabe, Ansatz" nicht sin=Gegenkathete/Hypo. heißen? Bzw cos=Ankathete/Hypo.
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