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Hallo,
koennt ihr mir helfen.
Ich habe folgende Folge (pardon the pun):
f = a(n) mit an := [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass die Folge beschraenkt ist.
Der Loesungsweg geht folgendermassen, ich zitiere:
"Fuer n [mm] \ge [/mm] 2 ist
|an| = an [mm] \le [/mm] 1 + [mm] \summe_{k=2}^{n}1/k(k [/mm] - 1) = 1 + [mm] \summe_{k=2}^{n}(1/(k [/mm] - 1) - 1/k) = 1 + ((1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n - 1) - 1/2)) = 2 - 1/n < 2."
Wo mein Verstaendnis aufhoert ist das hier:
|an| = an [mm] \le [/mm] 1 + [mm] \summe_{k=2}^{n}1/k(k [/mm] - 1)
Wieso [mm] \summe_{k=2}^{n}1/k(k [/mm] - 1)? Die Folge ist doch an := [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2, [/mm] also muesste es doch sein:
|an| = an [mm] \le [/mm] 1 + [mm] \summe_{k=2}^{n}1/k^2, [/mm] oder was mach ich falsch?
Danke!
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Martin,
also [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=1+\summe_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}
[/mm]
Hier ist nur der erste Summand der Summe rausgezogen, der Rest der Summe läuft also erst ab n=2 los
weiter ist [mm] \frac{1}{k^2}=\frac{1}{k\cdot{}k}\le\frac{1}{k(k-1)}
[/mm]
Denn hier wird der Nenner des Bruchs verkleinert, also wird der Bruch größer. [mm] (\frac{1}{3}\le\frac{1}{2})
[/mm]
Da alle [mm] $a_k>0$ [/mm] sind, folgt also:
[mm] a_n=1+\summe_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}\le 1+\summe_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)}
[/mm]
In dem Beweis werden also die Partialsummen [mm] a_n [/mm] nach oben abgeschätzt, es gilt ja eine obere Schranke zu finden
Gruß
schachuzipus
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Ah, ok, ich verstehe
muss man das so machen?
Man haette doch auch einfach folgendes machen koennen:
|an| = an = 1 + [mm] \summe_{k=2}^{n}1/k^2
[/mm]
= 1 + 1/4 + 1/9 + ... + [mm] 1/n^2
[/mm]
Daran sieht man doch eigentlich auch, dass die Folge an 2 grenzt, oder?
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echt? Siehst du das so?
Der Vorteil an der Umformung im Beweis ist, dass sich [mm] \summe_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)} [/mm] wunderbar per Partialbruchzerlegung aufteilen lässt in [mm] \summe_{k=2}^{n}\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} [/mm]
Und das ist eine wunderbare Teleskopsumme, in der sich alles bis auf den ersten Summanden in [mm] \frac{1}{k-1}, [/mm] also 1 und letzen Summanden in [mm] \frac{1}{k}, [/mm] also [mm] \frac{1}{n} [/mm] weghebt.
Bleibt [mm] 1-\frac{1}{n} [/mm] und das ist [mm] \le [/mm] 1 (sogar < 1) für alle n
Dann noch die +1 von vor der Summe und tadaa, die größere Summe ist kleiner als 2, also mit Sicherheit auch die kleinere "Ausgangssumme"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 03.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Jo ich finde das sieht man
Stell dir mal vor, du brauchst ein Kilo Mehl und jemand sagt dir, "ich geb dir jeden Tag eine Menge Mehl, aber jeden Tag geb ich dir genau die Haelfte der Menge, die ich dir am Tag davor gegeben habe. Am ersten Tag geb ich dir 500 Gramm"
Du wirst nie ein Kilo Mehl bekommen. Am ersten Tag bekommst du 500 Gramm. Du brauchst noch 500 um das Kilo zu haben. Am zweiten Tag bekommst du 250 Gramm. Jetzt brauchst du noch 250 Gramm und er gibt dir am naechsten Tag nur 125 Gramm. Jetzt brauchst du noch 125 Gramm und er gibt dir nur 62.5 Gramm. Jetzt brauchst du nur noch 62.5 Gramm und er gibt dir nur...und immer so weiter. Das Kilo bekommst du jedenfalls nie, genau so verhaelt es sich mit der Folge...
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Hallo nochmal,
ich finde das etwas "gefährlich"  - so will ich's mal nennen
Bedenke, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} [/mm] divergiert, weil die
Partialsummen [mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n} [/mm] unbeschränkt sind.
Die Partialsummen sehen ja auf den ersten Blick auch beschränkt aus, durch 2 oder 3 oder 100 oder irgendwas, aber sie sind es nicht!!
Also Obacht
LG
schachuzipus
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