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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 26.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe |
Bestimmen Sie Infimum, Supremum (Minimum und Maximum, falls vorhanden)
$M:= [mm] \{\frac{m}{n}:m,n \in \IN, 1\le m
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Hallo. Ich habe dazu die Musterlösung, kann sie aber leider nicht nachvollziehen, da ich das archimedische Axiom nicht verstehe:
Behauptung $sup M=1$
Da für
[mm] $\br{m}{n} \in [/mm] M [mm] \; [/mm] gilt [mm] \; \br{m}{n} [/mm] < 1 [mm] \gdw$ [/mm] minimum
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 ist obere Schranke von M
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$: Behauptung [mm] $\exists m_0 \in \IN \; [/mm] mit [mm] \; \frac{m}{1+m} [/mm] > [mm] 1-\varepsilon, \forall [/mm] m [mm] \ge m_0$
[/mm]
1. Fall: [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow$ [/mm] Aussage erfüllt für alle$ m [mm] \ge [/mm] 1$
2. Fall: [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] 1:\frac{m}{1+m}>1 \gdw \frac{m+1}{m} [/mm] < [mm] \frac{1}{1-\varepsilon}$
[/mm]
[mm] $\gdw 1+\frac{1}{m} [/mm] < 1 + [mm] \frac{\varepsilon }{1-\varepsilon }$
[/mm]
Nach dem Archimedischen Axiom soll gelten:
[mm] $\exists m_0 \in \IN: m_0 [/mm] > [mm] \red{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \forall [/mm] m [mm] \ge m_0 [/mm] : m > [mm] \frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}$
[/mm]
usw.
Mir ist das jetzt nicht klar, warum das gelten soll: [mm] $\exists m_0 \in \IN: m_0 [/mm] > [mm] \red{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}$
[/mm]
Das Archimedische Axiom ist mir eigentlich nur so geläufig: Für zwei reelle Zahlen x,y >0 existiert eine natürliche Zahl mit nx > y.
Und warum dann [mm] \frac{1-\varepsilon}{\varepsilon} [/mm] und nicht [mm] \frac{1}{1-\varepsilon}. [/mm] Kann man mir das bitte erklären? Danke
Gruß,
Phoney
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> Bestimmen Sie Infimum, Supremum (Minimum und Maximum, falls
> vorhanden)
>
> [mm]M:= \{\frac{m}{n}:m,n \in \IN, 1\le m
>
Hallo,
zunächst zu Archimedes:
> Mir ist das jetzt nicht klar, warum das gelten soll:
> [mm]\exists m_0 \in \IN: m_0 > \red{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}[/mm]
>
> Das Archimedische Axiom ist mir eigentlich nur so geläufig:
> Für zwei reelle Zahlen x,y >0 existiert eine natürliche
> Zahl mit nx > y.
>
Das paßt doch prima! Es sind [mm] x:=\varepsilon [/mm] und [mm] y:=1-\varepsilon [/mm] positive reelle Zahlen, wenn [mm] \varepsilon [/mm] klein genug ist.
Nach dem Archimedischen Axiom gibt es eine natürliche Zahl [mm] m_0 [/mm] (Namen sind Schall und Rauch. Ob wir sie [mm] m_0 [/mm] nennen oder n ist egal...) mit [mm] m_0*x=m_0\varepsilon>y=1-\varepsilon [/mm] <==> [mm] m_0>\bruch{1-\varepsilon}{\varepsilon}
[/mm]
> Ich habe dazu die Musterlösung,
Wo hast Du denn diese "Muster" - "lösung" her???
Denk' Dir lieber eine eigene aus...
>
> Behauptung [mm]sup M=1[/mm]
>
> Da für
> [mm]\br{m}{n} \in M \; gilt \; \br{m}{n} < 1 \gdw[/mm] minimum
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 ist obere Schranke von M
Bis auf das Intermezzo mit dem dubiosen Minimum ist das brauchbar. Du hast jetzt gezeigt: 1 ist eine obere Schranke von M.
Um zu zeigen, daß 1 das Supremum ist, mußt Du zeigen, daß es keine kleinere obere Schranke gibt.
Ich würde das per Widerspruch zeigen.
Angenommen, es gäbe eine kleinere obere Schranke [mm] s:=1-\varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Wenn das so ist, gibt für alle [mm] m\in \IN [/mm] \ [mm] \{0\}: \bruch{m}{m+1}\le s=1-\varepsilon
[/mm]
==> [mm] \bruch{m+1}{m}=1+\bruch{1}{m}\ge \bruch{1}{1-\varepsilon}
[/mm]
[mm] ==>\bruch{1}{m}\ge [/mm] ...
==> m...
und nun den Widerspruch suchen!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Huhu angela.h.b.
Vielen dank für deine umfassende Erklärung!
> > Ich habe dazu die Musterlösung,
>
> Wo hast Du denn diese "Muster" - "lösung" her???
>
> Denk' Dir lieber eine eigene aus...
Beim nächsten mal sollte ich statt Musterlösung "eine Lösung" sagen, habe ich verstanden.
Viele Grüße und guten Rutsch
Johann
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