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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Ihr!
Kann es sein, dass man beweist, dass [mm] \beta [/mm] eine obere Schranke von W= [mm] \{x \in Q | x² > 2\} [/mm] ist, in dem man sagt, [mm] \beta² [/mm] muss gößer oder gleich 2 sein, was ja der Fall ist?
Und wie kann man dann weiterhin beweisen, dass [mm] (\beta²+2)/(2\beta) [/mm] < [mm] \beta [/mm] auch rationale obere Schranke ist und folglich W keine kleinste obere Schranke hat? Also die kleineste obere Schranke von W wäre ja supW= [mm] \wurzel{2}!
[/mm]
Viele lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Den ersten Teil der Frage können wir leider nicht beantworten, da hier keiner weiß, was [mm] $\beta$ [/mm] sein soll und ich mir zudem nicht sicher bin, ob du die Menge richtig angegeben hast (kannst du das bitte überprüfen?).
Den Rest, den ich da geschrieben hatte, war wohl Blödsinn, wie mir Richard signalisiert hat. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Kübi,
ich nehme wie Stefan an, dass Dir bei W ein Fehler unterlaufen ist: so wie Du es definierst, hat W keine oberen Schranken. Vermutlich meinst Du:
> W= [mm]\{x \in Q | x² < 2\}[/mm]
und dann ist [mm] \beta [/mm] tatsächlich obere Schranke von W,
> in dem man sagt,
> [mm]\beta²[/mm] muss gößer oder gleich 2 sein.
> Und wie kann man dann weiterhin beweisen, dass
> [mm](\beta²+2)/(2\beta)[/mm] < [mm]\beta[/mm] auch rationale obere Schranke
> ist und folglich W keine kleinste obere Schranke hat?
[mm] \beta_1 [/mm] := [mm]\bruch{\bruch{1}{2}(\beta²+2)}{\beta}[/mm]
Dass [mm] \beta_1 [/mm] rational ist, ergibt sich daraus, dass [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist: alle Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von rationalen Zahlen sind rational.
Dass [mm] \beta_1 \le \beta [/mm] ist, siehst Du, indem Du die Definitionsgleichung mit Deiner vergleichst.
Wenn Du weißt, dass das geometrische Mittel kleiner/gleich dem arithmetischen ist, also [mm] \wurzel{ab} \le [/mm] 0,5(a+b), dann quadrierst Du die Definitonsgleichung, schätzt das Quadrat des arithmetischen Mittels (das oben schon so geschrieben) durch [mm] \beta²*2 [/mm] ab und erhältst [mm] \beta_1 \ge [/mm] 2.
(Das mit dem arithmetischen und geometrischen Mittel kannst Du ggf. ganz einfach so beweisen: 0,25(a+b)² - ab = 0,25(a-b)² [mm] \ge [/mm] 0).
Leider folgt aus der Tatsache, dass Du so eine monoton fallende Folge von oberen Schranken gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] definierst, noch nicht, dass W kein Maximum hat und somit [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational ist. Darum geht es Dir doch, soweit ich sehen kann.
Denn was Du da benutzt, ist das Heronverfahren, und das kann man für alle Wurzeln verwenden: wenn Du in der Def.-Gleichung oben statt 2 im Zähler z.B. 9 nimmst, dann erhältst Du als Grenzwert [mm] \wurzel{9}. [/mm] Die ist aber nicht irrational.
Also
> die kleineste obere Schranke von W wäre ja supW=
> [mm]\wurzel{2}![/mm]
Ja, aber das ist noch nicht bewiesen!
Gruß, Richard
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