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| Aufgabe | Ein Körper bewegt sich auf einer Schraubenbahn
[mm] \vec{r}(t)=(r_{0} cos(\bruch{t}{T}), r_{0} sin(\bruch{t}{T}, v_{0}t))
[/mm]
a) Skizzieren Sie die Bahnkurve
b)Berechnen Sie die Geschwindigkeit [mm] \vec{r} [/mm] '(t) sowie deren Betrag
[mm] |\vec{r} [/mm] '(t)|! Hängt der Betrag von der Zeit ab?
c) Geben Sie die Geschwindigkeit in Z Richtung an |
Hallo zusammen!
a) Der Körper bewegt sich auf einer Schraubenbahn,
da durch Cosinus und Sinus eine Kreisbahn in x,y Richtung beschrieben wird und pro Umlauf [mm] (2\pi) [/mm] die Steighöhe in Z Richtung um [mm] v_{0}t [/mm] zunimmt. (?)
b)r(t) ist ja eine Vektorwertige Funktion, also ein Vektor, bei dem alle 3 Komponenten von der selben Variablen abhängen.
um r'(t)=v zu erhalten leite ich die Funktion doch einfach partiell in x,y und z Richtung ab und erhalte einen neuen Vektor-die Geschwindigkeit?
Bei der X und Y Richtung war ich mir jetzt nicht sicher, ob ich jeweils die Kettenregel anwenden muss, weil das Argument in Sinus bzw Cosinus ja cos bzw [mm] sin(\bruch{t}{T}) [/mm] ist ?
Aber da T ja eine Konstante ist, glaube ich nicht, dass es eine verkettete Funktion ist, oder?
Also ich leite es folgendermaßen ab:
[mm] \vec{r} [/mm] '(t)=(- [mm] r_{0}sin(\bruch{t}{T}, r_{0}cos(\bruch{t}{T}), v_{0})
[/mm]
=v
Ist das so richtig?
Der Betrag eines Vektors [mm] \vec{r}=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ist ja definiert als
[mm] |\vec{r}|=\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] kann ich das für so eine Vektorwertige Funktion genauso anwenden?
Wenn ja, müsste dieser ja:
[mm] |\vec{r} [/mm] '(t)|= [mm] \wurzel{-r_{0}^2 sin^2(\bruch{t}{T})+ r_{0}^2 cos^2(\bruch{t}{T})+ v_{0}^2)} [/mm] ?
Jetzt erhalte ich doch für [mm] sin^2+cos^2=1:
[/mm]
[mm] \wurzel{vr0^2*1+v0} [/mm] also zeitunabhängig?
Wäre über anmerkungen zu meinen Lösungen bzw Verbesserungen sehr dankbar!
Liebe Grüße
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Hallo!
Du mußt hier schon die Kettenregel anwenden.
Beispiel:
[mm](2x)^2=4*x^2[/mm]
Ableiten:
[mm](4*x^2)'=4*2x=8x[/mm]
Und die Kettenregel sieht so aus:
[mm]((2x)^2)'=(2x)'*(\Box^2)'=2*2\Box=2*2*2x=8x[/mm]
Aber wenn man davon absieht, daß bei dir einige Formeln beim Schreiben hier im Forum verunglückt sind, hast du ansonsten recht.
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Also wenn ich die Kettenregel anwenden muss:
r'(t)=((-r0 [mm] sin(\bruch{t}{T}))\bruch{1}{T}, [/mm] (r0 [mm] cos(\bruch{t}{T}))\bruch{1}{T},v0) [/mm] ?
Da [mm] \bruch{1}{T} [/mm] ja die innerre Ableitung des Arguments von sin bzw cos ist.
Also bekomme ich für den Betrag:
|r'(t)|= [mm] \wurzel{((-r0 sin(\bruch{t}{T}))\bruch{1}{T})^2 + (r0 cos(\bruch{t}{T}))\bruch{1}{T})^2+v0^2)}
[/mm]
(?)
Wie fasse ich das nun zusammen(t sollte ja rausfallen)?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Sa 06.11.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
Genauso wie oben. Versuche irgendwas auszuklammern, so dass Du
[mm] $\sin^2x+\cos^2x\equiv [/mm] 1$
verwenden kannst.
Gruß,
notinX
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Kann ich so argumentieren:
|r'(t)|= [mm] \wurzel{(\bruch{-r0}{T})^2 sin^2(\bruch{t}{T})+(\bruch{r0}{T})^2 cos^2(\bruch{t}{T})+v0^2}
[/mm]
durch das quadrieren haben sinus und cosinus den selben koeffizienten=
[mm] (+)\bruch{ro^2}{T^2} [/mm] den ich jetzt ausklammern kann, also erhalte ich für
den Betrag:(mit [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] und wurzelziehen)
[mm] \bruch{r0}{T}+vo?
[/mm]
Gruß
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Hallo!
Ja, so weit hast du SIN und COS korrekt eliminiert.
Aber es ist NICHT [mm] \wurzel{a^2+b^2}=a^2+b^2 [/mm] !
Deine Zeitabhängigkeit steckt nebenbei in t, nicht in T. Damit ist die GEschwindigkeit vom Betrag her zeitunabhängig.
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Hoppla, ok.
Also ist die Lösung für den Betrag:
[mm] \wurzel{\bruch{r0^2}{T^2}+v0^2} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Sa 06.11.2010 | | Autor: | notinX |
Ja.
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| Aufgabe | c) geben Sie die Geschwindigkeit ist z Richtung an
d) Setzen Sie v0=0 und zeichnen Sie die Bahnkurve. Bestimmen Sie das Skalarprodukt [mm] \vec{r}(t)*\vec{r}'(t). [/mm] |
c) Geschwindigkeit in Z Richtung müsste doch einfach die partielle Ableitung in z Richtung=(v0*t)'=v0 sein?
d) Wenn v0=0 gibt es keine Steighöhe mehr, also müsste die Zeichnung einfach ein Kreis sein?
Skalarprodukt:
[mm] (r_{0} cos(\bruch{t}{T}, r_{0} sin(\bruch{t}{T}), v_{0}t)*(-r_{0} sin(\bruch{t}{T})\bruch{1}{T}, r_{0} cos(\bruch{t}{T})\bruch{1}{T}, v_{0})
[/mm]
Wenn ich das ausrechne erhalte ich:
[mm] \bruch{r0^2}{T}+v0^2t [/mm] (Ich habe [mm] \bruch{r0^2}{T} [/mm] vor den Sinus und Cosinusausdrücken ausgeklammert und da eins [mm] -{r0^2}{T} [/mm] ist heben sich dann sinus und cosinus auf, ist das korrekt?)
Wäre über anmerkungen dankbar!
Liebe Grüße
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Hallo!
Ja, setzt man die z-Bewegung =0, ist das eine Kreisbewegung.
Bei deinem Skalarprodukt soll die 3. Komponente der Geschwindigkeit ja nun =0 sein.
Und dann mußt du dir deine Rechnung nochmal genauer anschauen, das Ergebnis ist überaus einfach!
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