Schreibweise bei Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 23.02.2012 | | Autor: | marvin92 |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Menge:
A = { [mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}} [/mm] | x e [mm] \IR [/mm] }
Entscheiden Sie, ob die Menge ein Minimun, Maximum, Infimum oder Supremum in R besitzt und bestimmen Sie die Werte gegebenenfalls. |
Hey Leute,
habe mal eine Frage zu der Aufgabe. Ich habe bisher bei Mengen eigentlich immer diese Schreibweise gesehen:
z.B.:
B = {x e [mm] \IR [/mm] | [mm] x^{2} \le [/mm] 2 }
Was ja bedeutet, dass für x, einem Element aus den reellen Zahlen, in der Menge B gelte, dass dieses kleiner gleich 2 sei.
Wenn ich jetzt davon Supremum, Infimum usw. bestimmen soll geht das ja recht einfach, weil ich die Ungleichung
[mm] x^{2} \le [/mm] 2
ja einfach lösen kann und dann rauskriege:
[mm] x_{1} \le \wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{2} \ge -\wurzel{2}
[/mm]
Damit hätte ich ja das Intervall
[mm] \IL [/mm] = [mm] [-\wurzel{2} [/mm] , [mm] \wurzel{2}]
[/mm]
und kann daraus ganz einfach ablesen, dass
Infimum = [mm] -\wurzel{2} [/mm] = Minimum
und
Supremum = [mm] \wurzel{2} [/mm] = Maximum
ist.
Wie ist jetzt die Schreibweise aus der Aufgabe zu verstehen?
Warum steht da an zweiter Stelle x ist Element aus R und davor dieser Bruch?
Was soll ich mit diesem Bruch anfangen? Ich habe da ja jetzt keine Ungleichung mehr mit der ich rechnen kann, also wie kann ich da sagen was Infimum, Supremum usw ist?
MfG
Marvin
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 23.02.2012 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gegeben sei die folgende Menge:
> A = { [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}[/mm] | x e [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
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> Entscheiden Sie, ob die Menge ein Minimun, Maximum, Infimum
> oder Supremum in R besitzt und bestimmen Sie die Werte
> gegebenenfalls.
>
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> Hey Leute,
> habe mal eine Frage zu der Aufgabe. Ich habe bisher bei
> Mengen eigentlich immer diese Schreibweise gesehen:
> z.B.:
> B = {x e [mm]\IR[/mm] | [mm]x^{2} \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 }
>
> Was ja bedeutet, dass für x, einem Element aus den reellen
> Zahlen, in der Menge B gelte, dass dieses kleiner gleich 2
> sei.
>
> Wenn ich jetzt davon Supremum, Infimum usw. bestimmen soll
> geht das ja recht einfach, weil ich die Ungleichung
>
> [mm]x^{2} \le[/mm] 2
>
> ja einfach lösen kann und dann rauskriege:
> [mm]x_{1} \le \wurzel{2}[/mm] und [mm]x_{2} \ge -\wurzel{2}[/mm]
>
> Damit hätte ich ja das Intervall
> [mm]\IL[/mm] = [mm][-\wurzel{2}[/mm] , [mm]\wurzel{2}][/mm]
>
> und kann daraus ganz einfach ablesen, dass
> Infimum = [mm]-\wurzel{2}[/mm] = Minimum
> und
> Supremum = [mm]\wurzel{2}[/mm] = Maximum
> ist.
Hallo,
das ist falsch. Es geht nicht um die Angabe irgendwelcher x-Werte, sondern um die Angabe eines größten/kleinsten Funktionswertes bzw, um die Schranken dafür.
So sind bei der gegebenen Funktion negative Werte unmöglich, der Wert y=0 ist allerdings möglich. Somit ist y=0 sowohl Infimum als auch Minimum.
Jetzt mache dir mal Gedanken über einen eventuell möglichen größten Funktionswert...
Gruß Abakus
>
>
> Wie ist jetzt die Schreibweise aus der Aufgabe zu
> verstehen?
> Warum steht da an zweiter Stelle x ist Element aus R und
> davor dieser Bruch?
> Was soll ich mit diesem Bruch anfangen? Ich habe da ja
> jetzt keine Ungleichung mehr mit der ich rechnen kann, also
> wie kann ich da sagen was Infimum, Supremum usw ist?
>
> MfG
> Marvin
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 23.02.2012 | | Autor: | marvin92 |
Das mit dem x is natürlich falsch... infimum und supremum beziehen sich ja auf die Funktionswerte, dass ist mir auch klar. Das war jetzt mehr ein Flüchtigkeitsfehler ;)
Trotzdem gilt für die Menge B = {x e R | [mm] x^{2} \le [/mm] 2 }
dass Infimum = [mm] -\wurzel{2} [/mm] = Minimum
und
Supremum = [mm] \wurzel{2} [/mm] = Maximum
ist, dass ist doch richtig oder?
Bei der Menge aus der Aufgabe, verstehe ich jetzt nur nich wie man das rechnerisch beweisen soll, wo Infimum und Supremum sich befinden!?
Habe mir jetzt nur überlegt, dass, wie du schon sagtest Infimum = Minimum = 0 sein muss, weil man auf keine negativen Werte kommt. Das Supremum müsste doch 1 sein, da kann man ja den Bruch einfach gegen Unendlich laufen lassen kann richtig?
Was ist denn jetzt vom Verständnis her der Unterschied zwischen den zwei Schreibweisen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Die Eingabefehler hab ich sofort korrigiert aber du hast
> den Artikel wohl zu schnell gesehen :D
>
> Das mit dem x is natürlich falsch... infimum und supremum
> beziehen sich ja auf die Funktionswerte, dass ist mir auch
> klar. Das war jetzt mehr ein Flüchtigkeitsfehler ;)
>
> Trotzdem gilt für die Menge B = {x e R | [mm]x^{2} \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 }
>
> dass Infimum = [mm]-\wurzel{2}[/mm] = Minimum
> und
> Supremum = [mm]\wurzel{2}[/mm] = Maximum
> ist, dass ist doch richtig oder?
>
> Bei der Menge aus der Aufgabe, verstehe ich jetzt nur nich
> wie man das rechnerisch beweisen soll, wo Infimum und
> Supremum sich befinden!?
> Habe mir jetzt nur überlegt, dass, wie du schon sagtest
> Infimum = Minimum = 0 sein muss, weil man auf keine
> negativen Werte kommt. Das Supremum müsste doch 1 sein, da
> kann man ja den Bruch einfach gegen Unendlich laufen lassen
> kann richtig?
>
> Was ist denn jetzt vom Verständnis her der Unterschied
> zwischen den zwei Schreibweisen?
Du solltest diese Funktion mal umschreiben.
[mm]\bruch{x^2}{1+x^2}=\bruch{x^2}{x^2(\bruch{1}{x^2}+1)}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1}[/mm]
Du solltest dir zuerst nochmal die Definition von Infimum, Supremum, max und min durchlesen.
Wenn du dir die Funktion umschreibst, wird alles deutlicher.
So kannst du dein Supremum und dein Infimum schon fast ablesen.
Bilde einfach mal die Grenzwerte für x gegen null sowie x gegen +- unendlich.
Valerie
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