Schrödinger Gleichung, allg Ls < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Hallo, habe Schwierigkeiten die Schrödingergleichung mit dem allgemeinen Lösungsansatz zu lösen.
Ich soll zeigen, dass [mm] \psi(x)=Ae^{\pm jkx} [/mm] Lösungen sind. |
Die Schrödingergleichung lautet:
[mm] $\ddot{\psi(x)}+\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})\psi(x)=0$
[/mm]
Nun soll ich mit dem Ansatz: [mm] Ae^{\pm jkx} [/mm] die Schrödinger-Gleichung lösen,
also das k bestimmen.
Mein Ansatz:
[mm] $\psi(x)=Ae^{\pm jkx}$
[/mm]
[mm] $\ddot{\psi(x)} [/mm] = [mm] -Ak^{2}e^{jkx}$ [/mm] Das [mm] \pm [/mm] im Exponenten hat keinen Einfluß auf die Lösung.
=> [mm] $\ddot{\psi(x)}+\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})\psi(x)=0$
[/mm]
= [mm] $-Ak^{2}e^{jkx} +\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})Ae^{jkx}=0$
[/mm]
= [mm] $-k^{2} +\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})=0$
[/mm]
=> [mm] $k^{2} [/mm] = [mm] \frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})$
[/mm]
In der Musterlösung lautet der allgemeine Lösungsansatz anders:
[mm] $\psi(x)=C_{a}e^{jkx}+C_{b}e^{-jkx}$ [/mm] mit $ a [mm] \not [/mm] b $.
Scließlich kommt man in der Musterlösung ebenfalls auf das Ergebnis:
[mm] $k^{2} [/mm] = [mm] \frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})$
[/mm]
Warum macht man in der Musterlösung aus [mm] $Ae^{\pm jkx}$ [/mm] den Ausdruck [mm] $C_{a}e^{jkx}+C_{b}e^{-jkx}$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo, habe Schwierigkeiten die Schrödingergleichung mit
> dem allgemeinen Lösungsansatz zu lösen.
> Ich soll zeigen, dass [mm]\psi(x)=Ae^{\pm jkx}[/mm] Lösungen
> sind.
> Die Schrödingergleichung lautet:
> [mm]\ddot{\psi(x)}+\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})\psi(x)=0[/mm]
>
> Nun soll ich mit dem Ansatz: [mm]Ae^{\pm jkx}[/mm] die
> Schrödinger-Gleichung lösen,
> also das k bestimmen.
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\psi(x)=Ae^{\pm jkx}[/mm]
> [mm]\ddot{\psi(x)} = -Ak^{2}e^{jkx}[/mm] Das
> [mm]\pm[/mm] im Exponenten hat keinen Einfluß auf die Lösung.
richtig, sowohl der positive als auch der negative Exponent lösen die Gleichung.
>
> => [mm]\ddot{\psi(x)}+\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})\psi(x)=0[/mm]
> = [mm]-Ak^{2}e^{jkx} +\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})Ae^{jkx}=0[/mm]
> =
> [mm]-k^{2} +\frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})=0[/mm]
> => [mm]k^{2} = \frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})[/mm]
>
> In der Musterlösung lautet der allgemeine Lösungsansatz
> anders:
> [mm]\psi(x)=C_{a}e^{jkx}+C_{b}e^{-jkx}[/mm] mit [mm]a \not b [/mm].
Dieser Ansatz ist die Superposition (Linearkombination) der zwei Lösungen, deren Gültigkeit Du ja selbst gezeigt hast.
Dass diese Linearkombination auch eine Lösung ist, kann man entweder selbst nachrechnen oder man weiß, dass die SGL linear ist (zumindest in diesem Fall).
>
> Scließlich kommt man in der Musterlösung ebenfalls auf
> das Ergebnis:
> [mm]k^{2} = \frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})[/mm]
>
> Warum macht man in der Musterlösung aus [mm]Ae^{\pm jkx}[/mm] den
> Ausdruck [mm]C_{a}e^{jkx}+C_{b}e^{-jkx}[/mm] ?
>
Vermutlich um euch auf die Linearität aufmerksam zu machen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
Ok!
Nun soll ich die Differentialgleichung lösen.
Der Potentialtopf der Höhe V ist eindimensional und die Energie E ist kleiner als [mm] V_{0}. [/mm] $ [mm] 0
Also das k habe ich besimmt:
$ [mm] k^{2} [/mm] = [mm] \frac{2m}{\hbar}(E-V_{0}) [/mm] $
Die Bedingung verarbeiten.
$ [mm] k^{2} [/mm] = [mm] -\frac{2m}{\hbar}(V_{0}-E) [/mm] $
=> k hat komplexe Lösungen.
Nun war das immer so, dass ich für das Lösen der Differentailgleichungen eine allgemeine Differenzialgleichung genommen habe z.B [mm] $\psi [/mm] = [mm] C_{1}cos(kx)+C_{2}sin(kx)$ [/mm] und diese dann durch Nebenbedingungen gelößt habe.
In der Musterlösung wird nun eine andere Differentialgleichung genommen.
[mm] $\ddot{\psi(x)}+k^{2}\psi(x) [/mm] = [mm] \ddot{\psi(x)}-k^{2}\psi(x)$ [/mm] = 0
"Diese Lösung ergibt sich zu:" [mm] $\psi(x) [/mm] = [mm] C_{1}e^{-kx}+C_{2}e^{+kx}$
[/mm]
So wie ich das sehe, hat man wieder die Superposition der zwei Lösungen.
Hat man hier den allgemeinen komplexen Lösungsansatz [mm] $\psi=Ae^{jkx}+Be^{-jkx}$ [/mm] genommen, weil das k komplex ist?
Wenn ja, warum feht dann in der Musterlösung das $j$ im Exponenten?
Müsste es dann nicht heißen: [mm] $\psi(x) [/mm] = [mm] C_{1}e^{-jkx}+C_{2}e^{+jkx}$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 01.11.2011 | | Autor: | notinX |
> Ok!
> Nun soll ich die Differentialgleichung lösen.
>
> Der Potentialtopf der Höhe V ist eindimensional und die
> Energie E ist kleiner als [mm]V_{0}.[/mm] [mm]0
>
> Also das k habe ich besimmt:
> [mm]k^{2} = \frac{2m}{\hbar}(E-V_{0})[/mm]
> Die Bedingung
> verarbeiten.
> [mm]k^{2} = -\frac{2m}{\hbar}(V_{0}-E)[/mm]
> => k hat komplexe
> Lösungen.
>
> Nun war das immer so, dass ich für das Lösen der
> Differentailgleichungen eine allgemeine
> Differenzialgleichung genommen habe z.B [mm]\psi = C_{1}cos(kx)+C_{2}sin(kx)[/mm]
Das ist eine (Ansatz-)Funktion, keine Differentialgleichung
> und diese dann durch Nebenbedingungen gelößt habe.
Das funktioniert auch.
>
> In der Musterlösung wird nun eine andere
> Differentialgleichung genommen.
Nein, die DGL (also die Schrödingergleichung) bleibt die gleiche.
> [mm]\ddot{\psi(x)}+k^{2}\psi(x) = \ddot{\psi(x)}-k^{2}\psi(x)[/mm]
> = 0
> "Diese Lösung ergibt sich zu:" [mm]\psi(x) = C_{1}e^{-kx}+C_{2}e^{+kx}[/mm]
Das verstehe ich nicht. Normalerweise nimmt man den Ansatz [mm] $\psi(x) [/mm] = [mm] C_{1}e^{-ikx}+C_{2}e^{+ikx}$ [/mm] setzt ihn in die SGL ein und bekommt aus Stetigkeitsgründen Bedindungen für die jeweiligen Teilbereiche.
>
> So wie ich das sehe, hat man wieder die Superposition der
> zwei Lösungen.
>
> Hat man hier den allgemeinen komplexen Lösungsansatz
> [mm]\psi=Ae^{jkx}+Be^{-jkx}[/mm] genommen, weil das k komplex ist?
> Wenn ja, warum feht dann in der Musterlösung das [mm]j[/mm] im
> Exponenten?
> Müsste es dann nicht heißen: [mm]\psi(x) = C_{1}e^{-jkx}+C_{2}e^{+jkx}[/mm]?
Nein, denn k ist ja komplex, wenn man es mit der imaginären Einheit multiplizieren würde, wäre es ja wieder reell.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Di 01.11.2011 | | Autor: | zoj |
Danke, habe das Prinzip einigermaßer verstanden.
Werde gleich paar Aufgaben rechnen.
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