matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathematik-WettbewerbeSchubfachprinzip
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Schubfachprinzip
Schubfachprinzip < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Schubfachprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Di 17.07.2007
Autor: Theseus

Aufgabe
Aus jeder Menge von $5$ ganzen Zahlen kann man immer $3$ auswählen, deren Summe durch drei teilbar ist. Man nehme an, es gäbe $a, b, c$ mit  $a [mm] \equiv [/mm] 0, [mm] \equiv [/mm] 1, c [mm] \equiv [/mm] 2 (mod 3)$ Nun ist $a + b + c [mm] \equiv [/mm] 0 + 1 + 2 =0 (mod 3)$, die Summe ist also ohne Rest durch $3$ teilbar. Gibt es keine drei solche Zahlen, dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der fünf Zahlen kongruent modulo $3$, deren Summe also auch durch $3$ teilbar.

Hallo,

ich hab mir gerade die obige Erläuterung zum Schubfachprinzip durchgelesen, kann sich aber nicht ganz nachvollziehen. Also:

Eine Zahl kann bei Division durch 3 ja nur den Rest 0, 1 oder 2 lassen. So wie ich das verstanden habe, wählt man diese Reste nun als Schubfächer und verteilt 5 beliebige Zahlen als "Perlen" auf diese Schubfächer.

Wenn es für jedes Schubfach eine Perle gibt, dann hat man also drei Zahlen, deren Summe bei Division durch 3 den Rest 0 lässt... aber irgendwo habe ich glaube ich schon einen Denkfehler gemacht.

Kann mir jemand weiterhelfen? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Schubfachprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Di 17.07.2007
Autor: angela.h.b.


> Aus jeder Menge von [mm]5[/mm] ganzen Zahlen kann man immer [mm]3[/mm]
> auswählen, deren Summe durch drei teilbar ist. Man nehme
> an, es gäbe [mm]a, b, c[/mm] mit  [mm]a \equiv 0, \equiv 1, c \equiv 2 (mod 3)[/mm]
> Nun ist [mm]a + b + c \equiv 0 + 1 + 2 =0 (mod 3)[/mm], die Summe
> ist also ohne Rest durch [mm]3[/mm] teilbar. Gibt es keine drei
> solche Zahlen, dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der
> fünf Zahlen kongruent modulo [mm]3[/mm], deren Summe also auch durch
> [mm]3[/mm] teilbar.
>  Hallo,
>  
> ich hab mir gerade die obige Erläuterung zum
> Schubfachprinzip durchgelesen, kann sich aber nicht ganz
> nachvollziehen. Also:
>  
> Eine Zahl kann bei Division durch 3 ja nur den Rest 0, 1
> oder 2 lassen. So wie ich das verstanden habe, wählt man
> diese Reste nun als Schubfächer und verteilt 5 beliebige
> Zahlen als "Perlen" auf diese Schubfächer.

Hallo,

genau. So ist das gemeint.

Nun wurde bereits gezeigt, daß, wenn in jedem der drei Schubfächer (mindestens) eine "Perle" liegt, die Behauptung gilt.

Nun bleiben die Fälle zu untersuchen, in welchen mindestens ein Schufach leer bleibt.

1. Zwei Schubfächer leer. Dann liegen alle "Perlen" in ein und demselben Fach.
Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen?

2. Genau ein Schubfach bleibt leer.
Wie können dann die Perlen auf die verbleibenden Schubfächer verteilt sein?
Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen?

Gruß v. Angela




Bezug
                
Bezug
Schubfachprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Di 17.07.2007
Autor: Theseus

"1. Zwei Schubfächer leer. Dann liegen alle "Perlen" in ein und demselben Fach. Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen? "

Moment: Muss man hier nur drei Zahlen finden, welche die Bedingung erfüllen, oder muss man alle Fälle betrachten. Ich dachte nämlich letzteres. Denn wenn z.B. alle fünf Zahlen den Rest 2 haben, dann ist natürlich keien Zahl kongruent modulo 3. Und das kann bei 5 beliebigen Zahlen doch durchaus sein?

"2. Genau ein Schubfach bleibt leer.
Wie können dann die Perlen auf die verbleibenden Schubfächer verteilt sein? Findet man hier drei Zahlen, die die Bedingung erfüllen?"

Dann gäbe es doch drei Fälle:

- Schubfach I - Rest 0
- Schubfach II - Rest 1

- Schubfach I - Rest 1
- Schubfach II - Rest 2

- Schubfach I - Rest 0
- Schubfach II - Rest 2

Wie ich oben geschrieben habe, müssten 5 beliebige Zahlen auch hier nicht notwendigerweise durch 3 teilbar sein.
Wo ist mein Denkfehler? ^^

Bezug
                        
Bezug
Schubfachprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Di 17.07.2007
Autor: angela.h.b.


> "1. Zwei Schubfächer leer. Dann liegen alle "Perlen" in ein
> und demselben Fach. Findet man hier drei Zahlen, die die
> Bedingung erfüllen? "
>  
> Moment: Muss man hier nur drei Zahlen finden, welche die
> Bedingung erfüllen, oder muss man alle Fälle betrachten.
> Ich dachte nämlich letzteres.

Hallo,

in der Aufgabe steht " Aus jeder Menge von $ 5 $ ganzen Zahlen kann man immer $ 3 $ auswählen,", d.h.

Du hast 5 Zahlen und sollst Dir davon drei passende aussuchen.

Denn wenn z.B. alle fünf

> Zahlen den Rest 2 haben, dann ist natürlich keien Zahl
> kongruent modulo 3. Und das kann bei 5 beliebigen Zahlen
> doch durchaus sein?

Klar. Aber es geht ja darum, ob Du unter diesen 5 Zahlen drei findest, die Du addieren kannst, so daß das Ergebnis durch drei zu teilen ist.

Und das geht.


>  
> "2. Genau ein Schubfach bleibt leer.
>  Wie können dann die Perlen auf die verbleibenden
> Schubfächer verteilt sein? Findet man hier drei Zahlen, die
> die Bedingung erfüllen?"
>  
> Dann gäbe es doch drei Fälle:
>  
> - Schubfach I - Rest 0
>  - Schubfach II - Rest 1
>  
> - Schubfach I - Rest 1
>  - Schubfach II - Rest 2
>  
> - Schubfach I - Rest 0
>  - Schubfach II - Rest 2

Es ging mir bei meiner Frage weniger darum, welche Schufachkombinationen möglich sind als darum, wieviele Perlen in den beiden zur Verfügung stehenden Schufächern jeweils zu liegen kommen.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Schubfachprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Di 17.07.2007
Autor: Theseus

"Klar. Aber es geht ja darum, ob Du unter diesen 5 Zahlen drei findest, die Du addieren kannst, so daß das Ergebnis durch drei zu teilen ist."

Die Ausage lautet doch: "Gibt es keine drei solche Zahlen, dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der fünf Zahlen kongruent modulo 3, deren Summe also auch durch 3 teilbar." So wie ich das verstehe heißt das: Wenn es nicht drei solche Zahlen gibt, dann sind von 5 beliebigen Zahlen 3 Zahlen direkt kongruent modulo 3. Aber wenn alle drei Zahlen den Rest 2 lassen, ist das ja nicht möglich.
Werden die drei Zahlen aber addiert so ergibt sich wie du gesagt hast ja $a+b+c [mm] \equiv [/mm] 2+2+2=6 (mod 3)$. Also ist es so gemeint?

"Es ging mir bei meiner Frage weniger darum, welche Schufachkombinationen möglich sind als darum, wieviele Perlen in den beiden zur Verfügung stehenden Schufächern jeweils zu liegen kommen."

In jedem Schubfach sind mindestens 2 Perlen, in einem müssen 3 sein.

Bezug
                                        
Bezug
Schubfachprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Di 17.07.2007
Autor: angela.h.b.


> Die Ausage lautet doch: "Gibt es keine drei solche Zahlen,

die alle bei Division durch drei einen verschiedenen Rest lassen,

> dann sind nach dem Schubfachprinzip drei der fünf Zahlen
> kongruent modulo 3,

dann bleibt eines der Schubfächer leer. Und wenn eines der Schubfächer leer bleibt, liegen in einem anderen mindestens drei Perlen.

>deren Summe also auch durch 3 teilbar."

Und wenn Du diese "Perlen" addierst, wirst Du sehen daß sie bei Division durch 3 den rest 0 lassen.

> So wie ich das verstehe heißt das: Wenn es nicht drei
> solche Zahlen gibt, dann sind von 5 beliebigen Zahlen 3
> Zahlen direkt kongruent modulo 3.

Genau.

> Aber wenn alle drei
> Zahlen den Rest 2 lassen, ist das ja nicht möglich.

Was ist nicht möglich?

>  Werden die drei Zahlen aber addiert so ergibt sich wie du
> gesagt hast ja [mm]a+b+c \equiv 2+2+2=6 (mod 3)[/mm]. Also ist es so
> gemeint?

Ja!!!!!!!

>  
> "Es ging mir bei meiner Frage weniger darum, welche
> Schufachkombinationen möglich sind als darum, wieviele
> Perlen in den beiden zur Verfügung stehenden Schufächern
> jeweils zu liegen kommen."
>  
> In jedem Schubfach sind mindestens 2 Perlen, in einem
> müssen 3 sein.

Das stimmt nicht ganz. Es kann in einem Fach auch nur eine Perle liegen, aber in jedem Fall - und das ist das Wichtige - liegen in einem der Fächer mindestens 3 Perlen.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                
Bezug
Schubfachprinzip: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Di 17.07.2007
Autor: Theseus

Danke, jetzt hab ich's!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]