Schwach konkav < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mo 08.12.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | | Was ist der Unterschied zwischen schwach konkav und konkav. Sowie analog dazu schwach konvex und konvex? |
Hallo,
konkav ist ja, wenn man quasi Verbindungslinien unterhalb des Graphen zeichnen kann und konvex, wenn man die Verbindungslinien oberhalb des Graphen zeichnen kann. Aber was ist mit schwach konkav und schwach konvex gemeint? Wie sehen sie graphisch aus und gibt es auch stark konkav und stark konvex?
LG
Mathics
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> Was ist der Unterschied zwischen schwach konkav und konkav.
> Sowie analog dazu schwach konvex und konvex?
> Hallo,
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> konkav ist ja, wenn man quasi Verbindungslinien unterhalb
> des Graphen zeichnen kann und konvex, wenn man die
> Verbindungslinien oberhalb des Graphen zeichnen kann. Aber
> was ist mit schwach konkav und schwach konvex gemeint? Wie
> sehen sie graphisch aus und gibt es auch stark konkav und
> stark konvex?
>
> LG
> Mathics
Hallo Mathics
ich denke, dass mit dieser "schwachen" Konvexität bzw.
Konkavität gemeint ist, dass es auch erlaubt ist, dass
gewisse Sehnen mit der Kurve zusammenfallen können.
Stell dir als Beispiel etwa einen Funktionsgraph vor, der
aus einem mittleren Geradenstück besteht, an welches
sich beidseitig je ein echt oder "stark" konvexes
Kurvenstück anschließt.
Bei "starker" Konvexität hat jede Sehne nur gerade ihre
Endpunkte auf der Kurve.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 08.12.2014 | | Autor: | Mathics |
Alles klar, aber schwach konkav schließt konvexe Stellen immer noch aus, oder?
Wie sieht die erste Ableitung einer konkaven und konvexen Funktion aus? Bei der konkaven Funktion doch eine fallende Gerade aufgrund der abnehmenden Steigung und bei der konvexen Funktion eine steigende Gerade, oder?
LG
Mathics
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> Alles klar, aber schwach konkav schließt konvexe Stellen
> immer noch aus, oder?
Ja. Allerdings ist z.B. der Graph einer linearen Funktion
(also eine gerade Linie) gleichzeitig "schwach konkav" und
"schwach konvex" .
> Wie sieht die erste Ableitung einer konkaven und konvexen
> Funktion aus? Bei der konkaven Funktion doch eine fallende
> Gerade aufgrund der abnehmenden Steigung und bei der
> konvexen Funktion eine steigende Gerade, oder?
Betr. "fallend" und "steigend" liegst du zwar richtig, aber
die Ableitungsfunktion muss ja keineswegs linear sein. Ihr
Graph muss also keine Gerade sein !
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei D eine konvexe Teilmenge eines [mm] \IR- [/mm] Vektorraumes und f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion.
f heisst konkav, wenn für alle x,y aus D und für alle t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt:
f(t x+(1-t)y) [mm] \ge [/mm] t f(x)+(1-t)f(y)
f heisst stark konkav (oder streng konkav oder strikt konkav), wenn für alle x,y aus D mit x [mm] \neq [/mm] y und alle t [mm] \in [/mm] (0,1) gilt:
f(t x+(1-t)y) > t f(x)+(1-t)f(y).
Manchmal nennt man eine nur konkave Funktion auch schwach konkav.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 08.12.2014 | | Autor: | Mathics |
Ich hätte da einen konkrete konkaven Graphen, undzwar die in der Abbildung unten. Die ist doch normal konkav, richtig? Wie sähe die erste Ableitung denn zu dieser konkaven Funktion aus? Und wie würde man drauf kommen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Mathics
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ich hätte da einen konkrete konkaven Graphen, undzwar die
> in der Abbildung unten. Die ist doch normal konkav,
> richtig? Wie sähe die erste Ableitung denn zu dieser
> konkaven Funktion aus? Und wie würde man drauf kommen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo Mathics
da du die Kurve von Hand (und ein klein wenig zittrig)
skizziert hast, ist sie im Detail nicht überall konkav.
Trotzdem wissen wir, was du im Prinzip gemeint hast.
Um eine Ableitungsfunktion berechnen zu können,
müsste man einen Funktionsausdruck für die gegebene
Funktion haben. Darum gebe ich dir (zum Üben) ein
paar Beispiele von Funktionen, deren Graphen etwa
so aussehen wie deine Skizze:
1.) $\ f(x)\ =\ [mm] 1.2\,x\,-\,\frac{x^2}{10}$ [/mm] 0 ≤ x ≤ 7
2.) $\ g(x)\ =\ [mm] 10\,-\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{40}{x+4}$ [/mm] 0 ≤ x ≤ 7
3.) $\ h(x)\ =\ [mm] \sqrt{9\,+\,10\,x\,-\,x^2}\, [/mm] - [mm] \, [/mm] 3$ 0 ≤ x ≤ 7
LG , Al-Chwarizmi
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