Schwache Differenzierbarkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Hi! :)
Ich versuche schon seit längerem eine Aufgabe zur schwachen Differenzierbarkeit zu lösen und habe diese Frage auch schon auf in dem Forum http://www.matheplanet.com/ ("Schwache Differenzierbarkeit" von Nigritella) im Forums-Bereich Funktionalanalysis gestellt, doch leider nie eine Antwort bekommen...naja, das kann ja schon mal passieren. Da mich die Aufgabe aber wirklich sehr für mein Verständnis der schwachen Differenzierbarkeit interessiert, stelle ich sie auch hier einmal rein.
Ich fang dann mal mit der Aufgabenstellung an:
Es sei und eine auf schwach differenzierbare Funktion mit schwacher Ableitung . Zeigen Sie:
(a) Bezeichnet die auf
definierte klassische Ableitung von , so gilt
für alle mit und .
Anmerkung: Daraus folgt, dass (fast überall in
I), was Sie bei (b) verwenden dürfen.
(b) Angenommen ist beschränkt auf
und die links- und rechtsseitigen
Grenzwerte von existieren bei , also
Aus der schwachen Differenzierbarkeit von auf
folgt dann .
Meine eigenen Ideen:
Zu (a):
ist schwache Ableitung von ,
d.h. es gilt für beliebiges
(1)
und für beliebiges gilt ebenso
(1')
Des Weiteren ist eine klassische Ableitung von auf , so dass für beliebiges gilt
(2)
Analog gilt für beliebiges
(2')
Aus der Differenz der Gleichungen (1) und (2), sowie aus der Differenz der Gleichungen (1') und (2') folgt damit also unmittelbar die Behauptung.
Zu (b): Tja, hier würde ich sehr gerne versuchen eigene Lösungsvorschläge zu liefern, aber ich kriege hier einfach nichts Gescheites auf's Papier, drum wäre es wirklich toll, wenn ihr mir hier etwas unter die Arme greift. Ich bedanke mich schon mal im Voraus!!!
Viele Grüße,
Laura
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=198426
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Di 16.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Hallo nochmal :).
Weiß niemand Rat oder habe ich soviel verbockt, dass man gar nicht weiß, wo man mit dem Rat anfangen sollte? :D
Es wäre mir auch schon sehr geholfen, wenn man vllt. mal auf meine eigene Bearbeitung der Aufgabe eingeht und mir sagt, ob zumindestens die a) richtig oder falsch gelöst wurde.
Viele Grüße,
Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Di 16.09.2014 | | Autor: | hippias |
Hallo Laura,
meiner Meinung nach hast Du den ersten Teil bewiesen. Fuer den zweiten Teil lautet meine Vermutung, dass der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert $=v(0)$ ist. Versuchen zu zeigen wuerde ich es mit dem Teil a), indem Du eine Folge von Huetchenfunktionen [mm] $(\phi_{n})$ [/mm] konstruierst mit der Eigenschaft [mm] $\phi_{n}(0)=1$, [/mm] f.a. $n$, und [mm] $\lim_{n\to\infty}\phi_{n}(x)= [/mm] 0$, fuer $x>0$. Oder so aehnlich! Jedenfalls so, dass man daraus [mm] $u'(0^{\pm})= [/mm] v(0)$ erhaelt, wenn Du diese Funktionen in die Gleichung von a) einsetzt. Wenn die Behauptung denn ueberhaupt stimmt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 17.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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