Schwaches Gesetz d. gr. Zahlen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen haben wir für $\IR$-wertige i.i.d. $X_{i}$ mit $E(X_{i})=:\mu \in \IR$ und $Var(X_{i})\le M, M< \infty$ formuliert:
Für alle $\epsilon<0$ gilt:
$P\{|1/n \summe_{i=n}^{n}X_{i} - \mu | \ge \epsilon\} \le M/(\epsilon^2 n) \rightarrow 0$
Ich weiß nur leider nicht so viel damit anzufangen, was sagt dass denn in Worte gepackt aus?
Dann hatten wir ein Korollar dazu:
Seien $Y_{i}: (\Omega, \mathcal{A},P) \rightarrow (\tilde{\Omega},\tilde{\mathcal{A})$ i.i.d., dann gilt:
$P\{|1/n \summe_{i=1}^{n}1_{\tilde{A}} (Y_{i}) - P\{Y_{i} \in \tilde{A}\} | \ge \epsilon \} \rightarrow 0$
Hierbei verstehe ich den Beweis nicht.
"$X_{i}:=1_{\tilde{A}}(Y_{i})$."
Indikatorfunktionen kenne ich zwar, aber mich irritiert es, dass dahinter $(Y_{i})$ steht. Normalerweise steht da doch immer $(\omega)$, oder? Damit komme ich nicht klar. Wie muss ich mir das hier vorstellen?
"Dann sind die $X_{i}$ i.i.d. mit
$E(X_{i})=P\{Y_{i} \in \tilde{A}\}$"
Das kommt doch von $E(1_{A})=P(A)$, oder? Ist denn $P\{Y_{i} \in \tilde{A}\}=P\{\omega \in \Omega | Y_{i}(\omega) \in \tilde{A}\} =P(A)$?
Jedenfalls sehe ich, dass wir damit schonmal den linken Teil der obigen Ungleichung vom schwavchen Gesetz der Großen Zahlen haben.
$Var(X_{i})=E((X_{i})^2)-E^2(X_{i})=2E(X_{i})-E^2(X_{i})$
Hier komme ich nun gar nicht mehr hinterher (meine Notizen geben nicht so viel her...). Kann mir jemand verraten wie es weitergeht?
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Fr 17.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi!
> Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen haben wir für
> [mm]\IR[/mm]-wertige i.i.d. [mm]X_{i}[/mm] mit [mm]E(X_{i})=:\mu \in \IR[/mm] und
> [mm]Var(X_{i})\le M, M< \infty[/mm] formuliert:
> Für alle [mm]\epsilon<0[/mm] gilt:
> [mm]P\{|1/n \summe_{i=n}^{n}X_{i} - \mu | \ge \epsilon\} \le M/(\epsilon^2 n) \rightarrow 0[/mm]
>
> Ich weiß nur leider nicht so viel damit anzufangen, was
> sagt dass denn in Worte gepackt aus?
Im Prinzip sagt es etwas aus, was man in der Praxis so erwarten wuerde und was viele Leute auch benutzen (ohne zu wissen warum das so ist): Wenn du einen Versuch ganz oft durchfuehrst und die Messwerte mittelst, dann ist der Mittelwert recht nah dran am 'richtigen (zu erwartenden) Wert' des Versuches.
> Dann hatten wir ein Korollar dazu:
> Seien [mm]Y_{i}: (\Omega, \mathcal{A},P) \rightarrow (\tilde{\Omega},\tilde{\mathcal{A})[/mm]
> i.i.d., dann gilt:
> [mm]P\{|1/n \summe_{i=1}^{n}1_{\tilde{A}} (Y_{i}) - P\{Y_{i} \in \tilde{A}\} | \ge \epsilon \} \rightarrow 0[/mm]
Ich nehme mal an, [mm] $\tilde{A} \subseteq \IR$ [/mm] ist irgendeine [mm] $\IB$-messbare [/mm] Menge?
> Hierbei verstehe ich den Beweis nicht.
> "[mm]X_{i}:=1_{\tilde{A}}(Y_{i})[/mm]."
> Indikatorfunktionen kenne ich zwar, aber mich irritiert
> es, dass dahinter [mm](Y_{i})[/mm] steht. Normalerweise steht da
> doch immer [mm](\omega)[/mm], oder? Damit komme ich nicht klar. Wie
> muss ich mir das hier vorstellen?
Mit [mm] $1_{\tilde{A}}(Y_i)$ [/mm] ist die Verkettung [mm] $1_{\tilde{A}} \circ Y_i$ [/mm] gemeint! Es ist also folgende Funktion (wenn [mm] $Y_i [/mm] : [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] ist): [mm] $1_{\tilde{A}}(Y_i) [/mm] : [mm] \Omega \to \IR$, $\omega \mapsto \begin{cases}1 & Y_i(\omega) \in \tilde{A} \\ 0 & Y_i(\omega) \not\in \tilde{A} \end{cases}$.
[/mm]
> "Dann sind die [mm]X_{i}[/mm] i.i.d. mit
> [mm]E(X_{i})=P\{Y_{i} \in \tilde{A}\}[/mm]"
> Das kommt doch von
> [mm]E(1_{A})=P(A)[/mm], oder?
Genau.
> Ist denn [mm]P\{Y_{i} \in \tilde{A}\}=P\{\omega \in \Omega | Y_{i}(\omega) \in \tilde{A}\} =P(A)[/mm]?
Wenn $A = [mm] \{\omega \in \Omega | Y_{i}(\omega) \in \tilde{A}\}$ [/mm] ist, ja. Aber ich glaub nicht dass du das meintest.
Es ist zumindest [mm] $P\{\omega \in \Omega | Y_{i}(\omega) \in \tilde{A}\} [/mm] = [mm] P(1_{\tilde{A}}(Y_i) [/mm] = 1) = [mm] E(1_{\tilde{A}}(Y_i))$, [/mm] da die Zufallsvariable [mm] $1_{\tilde{A}}(Y_i)$ [/mm] nur die Werte $0$ und $1$ annimmt.
> Jedenfalls sehe ich, dass wir damit schonmal den linken
> Teil der obigen Ungleichung vom schwavchen Gesetz der
> Großen Zahlen haben.
> [mm]Var(X_{i})=E((X_{i})^2)-E^2(X_{i})=2E(X_{i})-E^2(X_{i})[/mm]
> Hier komme ich nun gar nicht mehr hinterher (meine Notizen
> geben nicht so viel her...).
Die Aussage gilt so sicher nicht: Wenn du die $2$ vor [mm] $E(X_i)$ [/mm] hinten weglaesst, gilt sie dagegen schon! (Da [mm] $X_i^2 [/mm] = [mm] X_i$ [/mm] ist: [mm] $0^2 [/mm] = 0$ und [mm] $1^2 [/mm] = 1$.)
Zumindest ist [mm] $Var(X_i) [/mm] = [mm] E(X_i) [/mm] - [mm] E^2(X_i) [/mm] = [mm] P(\tilde{A}) [/mm] - [mm] P(\tilde{A})^2 \in [/mm] [0, 1]$, womit du mit dem Schwachen Gesetz der grossen Zahlen abschliessen kannst (da [mm] $M/(\varepsilon [/mm] n) [mm] \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
LG Felix
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Hallo...
Also für [mm] $\tilde{\mathcal{A}}$ [/mm] haben wir keine weiteren Einschränkungen gemacht.
Eine Frage habe ich dazu aber noch:
[mm] $Var(X_{i})=E(X_{i}) [/mm] - [mm] E^2(X_{i})$
[/mm]
Nun nimmt doch [mm] $X_{i}$ [/mm] nur die Werte 0 und 1 an, also müsste der Erwartungswert entweder 0 oder 1 sein. Für das gleiche i ist dann doch die Varianz immer Null, oder? Na ja, du hattest ja geschrieben, dass die Varianz Werte aus [0,1] annimmt, wieso liege ich da falsch?
viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:20 So 19.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Also für [mm]\tilde{\mathcal{A}}[/mm] haben wir keine weiteren
> Einschränkungen gemacht.
also [mm] $\tilde{A}$ [/mm] muss messbar sein, ansonsten macht es keinen Sinn die Wahrscheinlichkeit von [mm] $Y_i \in \tilde{A}$ [/mm] zu betrachten! (Da die Menge [mm] $\{ Y_i \in \tilde{A} \}$ [/mm] dann im allgemeinen nicht messbar ist.)
> Eine Frage habe ich dazu aber noch:
> [mm]Var(X_{i})=E(X_{i}) - E^2(X_{i})[/mm]
> Nun nimmt doch [mm]X_{i}[/mm] nur
> die Werte 0 und 1 an, also müsste der Erwartungswert
> entweder 0 oder 1 sein.
Das stimmt nicht! Ist zum Beispiel [mm] $P(X_i [/mm] = 0) = [mm] P(X_i [/mm] = 1) = 1/2$, so ist [mm] $E(X_i) [/mm] = 1/2 [mm] \cdot [/mm] 0 + 1/2 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1/2$!
> Für das gleiche i ist dann doch die
> Varianz immer Null, oder? Na ja, du hattest ja geschrieben,
> dass die Varianz Werte aus [0,1] annimmt, wieso liege ich
> da falsch?
Der Erwartungswert ist immer [mm] $P(X_i [/mm] = 1) [mm] \in [/mm] [0, 1]$. Und die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] x (1 - x)$ bildet $[0, 1]$ in $[0, 1]$ ab. Damit liegt [mm] $Var(X_i) \in [/mm] [0, 1]$.
LG Felix
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danke, jetzt habe ich es verstanden!
aber wir hatten als Voraussetzung wirklich nur, dass
[mm] $X_{i}:(\Omega,\mathcal{A},P) \rightarrow (\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{A}})$ [/mm] i.i.d. Zufallsvariablen sind...
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