Schwebungen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweise folgende Gleichung ohne Verwendung der Additionstheoreme, sondern mit Hilfe der Komplexen Darstellung der Cosinus Funktion als E-Funktionen.
Du kennst also: [mm] \cos{\omega t}=\tfrac{1}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}) \text{ und } e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}=e^{i(\phi_1+\phi_2)/2}[/mm]
|
[mm]\cos{\omega_1 t}+\cos{\omega_2 t} = 2\cos{(\tfrac{1}{2}(\omega_1-\omega_2)t)\cos{(\tfrac{1}{2}(\omega_1+\omega_2)t)
[/mm]
Wenn ich von "links nach rechts" beweise, so komme ich auf [mm]\cos{\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2}t}[/mm]. Die Umformung auf die Rechte Seite oder anders herum gelingt mir einfach nicht :(
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo MatthiasU und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Hast du die forenregeln gelesen?
a) eigene Idee
b) nette Umgangsform
du schmeisst da einfach ne Aufgabe hin. ohne Bitte, ohne frage, ohne zu sagen, was du daran schwierig findest und was du schon ueberlegt hast.
Warum schreibst du nicht einfach die komplexe Darstellung der Funktionen hin?
dann kommts direkt raus. Fuer uns waer das nur reine Schreibarbeit.
Wenn ud dabei nicht weiterkommst dann schreib deine Rechng auf soweit du kommst. dann sparen auch wir Zeit.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 23.11.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo
ich habe auch probleme mit der aufgabe,
also ich hab cos mit [mm] 0,5(e^{iwt}+e^{-iwt}) [/mm] ersetzt.
Dann komme ich auf
[mm] 0,5(e^{iw_1t}+e^{iw_2t})+0,5(e^{-iw_1t}+e^{-iw_2t}) [/mm]
Ich dachte nun, dass man [mm] e^{iw_1t} [/mm] mit [mm] \cos{w_1t}+i \sin{w_1t} [/mm] sollte, aber dann komme ich nur wieder cos{w_1t}+cos{w_2t} wovon ich ausgegangen bin....
Kann mir da jm einen tipp geben?
Lg kreide
|
|
|
| |
|
Die Lösung auf die ich zunächst gekommen bin, wenn ich von links nach rechts gehe (wie du) ist anders. Siehe aktualisierte Aufgabenstellung.
Was ich anders als du gemacht habe ist nur folgendes:
Ich habe die beiden neuen Terme, die du bekommen hast umgetauscht und dann die beiden E-Funktionen mit [mm] Omega_1 [/mm] bzw. [mm] Omega_2 [/mm] jeweils zusammen gezogen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 23.11.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo, also das ist doch richtig (achte auf die indices)
>
> [mm]
=0,5(e^{iw_1t}+e^{iw_2t})+0,5(e^{-iw_1t}+e^{-iw_2t})[/mm]
Dann die e's zusammenfügen wie es die aufgabenstellung sagt.
Dann ausnutzen dass [mm] e^{iw}=cos(w)+isind(w)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(cos(0,5(w_1+w_2)t+isin(0,5(w_1+w_2)t)+\bruch{1}{2}(cos(0,5(w_1+w_2)t)-sin(0,5(w_1+w_2)t)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(cos(0,5(w_1+w_2) t+cos(0,5(w_1+w_2)t)
[/mm]
Aber ich hab das gefühlt, dass das falsch ist.
Lg
kreide
|
|
|
| |
|
Deine Umformungen sind schon richtig. Jetzt kannst du noch beide Cosinusfunktionen zusammenfassen. Dann verschwindet der Bruch und du bist soweit wie ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 23.11.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo matthiasU
danke für deine nachricht, ich hab sie mal auf "unbeantwortet" gestellt. ich hoffe das uns so noch andere leute helfen können. Wenn die aufgabe nämlich "grün" leuchtet ist die wahscheinlichkeit sehr gering, dass sich jm noch diese aufgabe anschauen wird.
Lgkreide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man deine erste linke Seite nimmt und jetzt in den Klammern [mm] w1=\bruch{w1+w2}{2}+\bruch{w1-w2}{2} [/mm] und
[mm] w2=\bruch{w1+w2}{2}-\bruch{w1-w2}{2} [/mm] im Exponenten einsetzt kann man [mm] e^{i*\bruch{w1+w2}{2}} [/mm] ausklammern, im 2, dasselbe mit [mm] e^{-i\bruch{w1+w2}{2}} [/mm] und dann neu zusammenfassen.
kommst du damit hin?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Beweise folgende Gleichung ohne Verwendung der
> Additionstheoreme, sondern mit Hilfe der Komplexen
> Darstellung der Cosinus Funktion als E-Funktionen.
> Du kennst also: [mm]\cos{\omega t}=\tfrac{1}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}) \text{ und } e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}=e^{i(\phi_1+\phi_2)/2}[/mm]
>
> [mm]\cos{\omega_1 t}+\cos{\omega_2 t} = 2\cos{(\tfrac{1}{2}(\omega_1-\omega_2)t)\cos{(\tfrac{1}{2}(\omega_1+\omega_2)t)
[/mm]
>
> Wenn ich von "links nach rechts" beweise, so komme ich auf
> [mm]\cos{\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2}t}[/mm]. Die Umformung auf die
> Rechte Seite oder anders herum gelingt mir einfach nicht
Hallo,
rechne doch mal vor.
Fang lieber rechts an.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 23.11.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo angela,
ich bin auch darauf gekommen, siehe hierfür meine rechnung in diesem post, im letzten schritt muss man hier nur noch kurz zusammenfassen.
Lg
kreide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo,
ich seh keine Rechnung?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich würde auch gerne eine Antwort sehen. Wie hast du jetzt die Gleichung bewiesen, ohne das Wort "gegeben" als = zu interpretieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wollt ihr von mir einen Beweis fuer [mm] e^{ir_1}+e^{ir+2} [/mm] haben die Phase [mm] (r_1+r_2)/2
[/mm]
Wenn man 2 gleichlange Pfeile mit Winkel [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] addiert leigt der ErgebnisPfeil auf der Winkelhalbierenden und die Mitte zw [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] ist eben [mm] (r_1+r_2)/2
[/mm]
allerdings kann man ueber die laenge dabei nichts sagen,
auch die [mm] \wurzel{2}, [/mm] die ich hingeschrieben habe war falsch!
Im uebrigen einfach mal 2 oder 3 beispiele aufmalen.
da stand was von Phasenfaktor nicht von summe gleich!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die formel: [mm] e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}=e^{i(\phi_1+\phi_2)/2} [/mm] ist falsch. wie kommst du da drauf?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 So 23.11.2008 | | Autor: | MatthiasU |
Dies ist Teil der Aufgabenstellung! Ich selber bin nicht darauf gekommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 23.11.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo
bei mir steht
Benutze, dass die phase der komplexen zahl [mm] e^{iw_1}+e^{iw_2} [/mm] durch den phasenfaktor [mm] e^{0,5i(w_1+w_2} [/mm] gegeben ist.
Ich hab das so verstanden wie matthiasu dass oben mit dem "=" geschrieben hat.
liegt hier der Fehler?
Was soll man denn darunter verstehen?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das = ist falsch. z. bsp steht links ne zahl mit dem Betrag [mm] \wurzel{2} [/mm] rechts eine mit Betrag 1. oder stz w1=w2=0 dann steht da 1+1=1
Die Aussage sagt nur, wenn man zwei gleichlange Pfeile addiert liegt der Ergebnispfeil auf der Winkelhalbierenden. [red]wenn ihr ein = haben wollt muss recht noch [mm] \wurzel{2} hin.[\red]
[/mm]
Das war leider Unsinn!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ok, Kreide hat recht. Es heißt eigentlich, das die summe der Phasen durch den anderen Term gegeben war. Letztendlich muss ich aber wie mit einem = rechnen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Was heisst "wie mit einem gleich"?
wenn etwas nicht gleich ist ist es nicht gleich!
|
|
|
| |
|
Nun, ich habe so gerechnet als wenn die Autoren der Aufgabe behauptet hätten:
[mm] e^{i\phi_1}+e^{\phi_2}=e^{i(\phi_1+\phi_2)/2}[/mm]
So habe ich es geschafft die Gleichung von rechts nach links zu beweisen.
Ich muss davon ausgehen, dass die obrige Gleichung stimmt, ansonsten kann ich in meinem Beweis kein Gleichheitszeichen verwenden. So komisch es auch ist...
Bitte verzeih mir, wenn ich aus Zeitgründen den Beweis jetzt noch nicht schreiben werde. Wenn du möchtest kann ich ihn aber morgen hier abliefern falls du selber nicht mit der falschen Aussagen beweisen möchtest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die aussage falsch ist (hast du das ueberprueft) muss dein beweis falsch sein ausser die falsche Aussage hebt sich irgendwo raus!
geht dein "Beweis denn auch wenn du schriebst
$ [mm] e^{i\phi_1}+e^{\phi_2}=r*e^{i(\phi_1+\phi_2)/2} [/mm] $
mit [mm] r\le [/mm] 2 ?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ihr braucht die falsche Aussage überhaupt nicht.
Fangt einfach rechts an unter Verwendung dessen, was Ihr in der Aufgabenstellung über den cos notiert habt, und alles wird gut.
Verwendet nicht sie falsche Aussage, denn damit kann man doch nur Schrott produzieren.
(Natürlich klappt das von links auch, wenn man weiß wie's geht, aber von rechts ist es einfach.)
Falls es irgendwann Ergebnisse gibt, die noch Fragen offenlassen, wird hier die Rechnung benötigt, und zwar completti.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
