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| Aufgabe | | Vom Dreieck ABC mit den Seitenmittelpunkten [mm] M_a.M_b,M_c [/mm] sowie dem Schwerpunkt S sind die Größen A(-4;3) B(2;5) C(-4;7) bekannt?Berechne die Fehlenden! |
Hallo an alle!
Ich habe [mm] M_a,M_b,M_c [/mm] erfolgreich berechnet, dazu habe ich z.B
[mm] \frac{1}{2}\cdot\vektor{0\\4} [/mm] = [mm] \vektor{x+4\\y-3} [/mm] gerechnet. Ist das eine gute Methode?
Keine Ahnung habe ich jedoch wie ich S berechnen soll....Könnte mir da bitte jemand eine Anleitung geben?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 28.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Angelika,
alle drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks. Du brauchst natürlich nur zwei Seitenhalbierende, um diesen Schnittpunkt, der dann der schwerpunkt ist, zu bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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[mm] \infty [/mm] Dank Infinit!
Aber noch eine Frage:Wie kann ich die Schnittpunke berechnen, ich habe mir zwar die Grundwerkzeuge der Vektorrechnung angeeigtet aber komm nicht drauf!
Oder sollte ich mit trigonometrischen Sätzen weitermachen.Z.B könnte ich mithilfe der Vektorbeträge und dem Kosinussatz den Winkel zwischen [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{M_bB} [/mm] und ebenso zwischen [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AM_a} [/mm] berechnen.So hätte ich die Seite [mm] \overline{AB} [/mm] und die an ihr anliegenden Winkel und ich könnte mit dem Sinussatz die Strecke [mm] \overline{BS} [/mm] berechnen.So wäre es dann möglich mit dem Einheitsvektor von [mm] \vec{M_bB} [/mm] zu arbeiten [mm] \vec{BS}=\vec{M_bB}_0*\overline{BS} [/mm]
und nach S aufzulösen.Oder gibt es einen leichteren Weg?
Bei einer anderen Aufgabe waren die Eckpunkte eines Dreeiecks gegeben und die Innenwinkel gesucht.Auch dort habe ich trigonometrische Sätze angewand und mit den Beträgen gearbeitet.Würde es auch anders gehen?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 28.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Angelika,
Du hast doch die drei Punkte des Dreiecks gegeben und Du kennst inzwischen auch die Koordinaten der Seitenhalbierenden auf der dem Punkt jeweils gegenüberliegenden Seite. Jetzt musst Du nur noch für diese beiden Punkte eine Geradengleichung aufstellen, diese Gerade ist die Seitenhalbierende. Solch eine Gerade kann durch die Zweipunkteform ausgerechnet werden. Wie man das macht, kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
So entstehen zwei Gleichungen, die Du gleichsetzt und damit ihren Schnittpunkt berechnest.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 28.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> [mm]\infty[/mm] Dank Infinit!
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> Aber noch eine Frage:Wie kann ich die Schnittpunke
> berechnen, ich habe mir zwar die Grundwerkzeuge der
> Vektorrechnung angeeigtet aber komm nicht drauf!
> Oder sollte ich mit trigonometrischen Sätzen
> weitermachen.Z.B könnte ich mithilfe der Vektorbeträge und
> dem Kosinussatz den Winkel zwischen [mm]\overline{AB}[/mm] und
> [mm]\overline{M_bB}[/mm] und ebenso zwischen [mm]\overline{AB}[/mm] und
> [mm]\overline{AM_a}[/mm] berechnen.So hätte ich die Seite
> [mm]\overline{AB}[/mm] und die an ihr anliegenden Winkel und ich
> könnte mit dem Sinussatz die Strecke [mm]\overline{BS}[/mm]
> berechnen.So wäre es dann möglich mit dem Einheitsvektor
> von [mm]\vec{M_bB}[/mm] zu arbeiten
> [mm]\vec{BS}=\vec{M_bB}_0*\overline{BS}[/mm]
> und nach S aufzulösen.Oder gibt es einen leichteren Weg?
> Bei einer anderen Aufgabe waren die Eckpunkte eines
> Dreeiecks gegeben und die Innenwinkel gesucht.Auch dort
> habe ich trigonometrische Sätze angewand und mit den
> Beträgen gearbeitet.Würde es auch anders gehen?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
>
wenn du die addition von vektoren beherrschst und weißt, dass der schwerpunkt S die seitenhalbierenden im verhältnis 1:2 teilt, kommst du damit auf die einfache formel für die schwerpunktkoordinaten
[mm] \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{M_cC}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{M_cC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}_c
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM}_c=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
[/mm]
damit kommst du dann auf
[mm] \overrightarrow{OS}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
[/mm]
wo du nur mehr die werte für A, B und C einsetzen mußt.
eine hübsche übung zur vektoraddition
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