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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Skyler |
| Aufgabe | | [mm] M < R^3 : -(1-z)sin(x) \le y \le (1-z)sin(x)
0\le x \le \pi , 0 \le z
berechnen Sie den Schwerpunkt [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo zusammen!
Mein Prof hat gesagt, diese Aufgabe sei total einfach, wenn man es erkennt!?
also es gibt wohl irgendeinen trick oder eine idee wie man den schwerpunkt ganz einfach ausrechenen kann, doch leider komm ich nich darauf!
ich würde mich über ein paar lösungsideen oder eine kleine starthilfe freuen, damit ich die aufgabe lösen kann!
vielen dank und grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 05.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ist M [mm] \subset \IR^3 [/mm] , sagen wir Jordan-meßbar und V sein Volumen, also
V = [mm] \integral_{M}^{}{1 d(x_1,x_2,x_3)}, [/mm] so ist der Scwerpunkt S = [mm] (s_1, s_2, s_3) [/mm] von M gegeben durch
[mm] s_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{V} \integral_{M}^{}{x_i d(x_1,x_2,x_3)} [/mm] (i = 1,2,3)
FRED
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> [mm]M \subset \IR^3 : -(1-z)sin(x) \le y \le (1-z)sin(x)
0\le x \le \pi , 0 \le z
> berechnen Sie den Schwerpunkt[/mm]
> Mein Prof hat gesagt, diese Aufgabe sei total einfach, wenn
> man es erkennt!?
>
> also es gibt wohl irgendeinen trick oder eine idee wie man
> den schwerpunkt ganz einfach ausrechnen kann, doch leider
> komm ich nich darauf!
hi Skyler,
es lohnt sich, eine Zeichnung zu machen. Die Menge M
gleicht dem Inneren einer "Schiffchenmütze" oder einer
Döner-Tasche. Alle zur y-z-Ebene parallelen ebenen
Schnitte ergeben jeweils ein Dreieck. Darauf stützt
sich möglicherweise der professorale Hinweis.
Für den Schwerpunkt erhalte ich (ohne Integrale etc.,
sondern einfach so überlegt):
[mm] S(\bruch{\pi}{2}/0/\bruch{1}{3}) [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Skyler |
also kann ich den schwerpunkt herausbekommen ohne integration, verstehe ich das richtig?
könntest du das vllt noch ein wenig erläutern?
vielen dank und gruss
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> also kann ich den schwerpunkt herausbekommen ohne
> integration, verstehe ich das richtig?
genau.
> könntest du das vllt noch ein wenig erläutern?
Ist es dir gelungen, eine Skizze für M zu erstellen ?
Meine Zeichnung sieht so aus: die beiden Kurven
$\ y=sin(x)$, $\ y=-sin(x)$ $\ [mm] (0\le [/mm] x [mm] \le\pi)$ [/mm]
in der x-y-Ebene beschreiben den unteren Rand der
"Mütze". Sie treffen einander in den Punkten $\ O(0/0/0)$
und $\ [mm] P(\pi/0/0)$. [/mm] Die "Firstlinie" der Mütze ist die
Kante $\ [mm] \overline{QR}$ [/mm] mit $\ [mm] Q(\pi/0/1)$ [/mm] und $\ R(0/0/1)$.
Auch $\ [mm] \overline{PQ}$ [/mm] und $\ [mm] \overline{OR}$ [/mm] sind Kanten von M.
Die gekrümmten Flächen, welche (zusammen mit der Ebene z=0)
die Menge M begrenzen, sind Regelflächen. Die Ebene $\ [mm] E_{x_0}: x=x_0$ [/mm]
schneidet aus M ein gleichschenkliges Dreieck [mm] (ABC)_{x_0} [/mm] mit
$\ [mm] A(x_0/sin(x_0)/0),\ B(x_0/-sin(x_0)/0),\ C(x_0/0/1)$ [/mm]
heraus. Dieses Dreieck hat den Schwerpunkt $\ [mm] S_{x_0}(x_0/0/\bruch{1}{3})$.
[/mm]
Für die Berechnung des Schwerpunktes S von M könnte
man über x integrieren, dann wird
$\ [mm] z_S=\bruch{1}{Vol(M)}*\integral_{x=0}^{\pi} z_{S_x}*F_{(ABC)_x}*dx$
[/mm]
Weil aber [mm] z_{S_x}=\bruch{1}{3} [/mm] für alle x, erübrigt sich die detaillierte
Rechnung. Es muss auch [mm] z_S=\bruch{1}{3} [/mm] sein. [mm] x_S [/mm] und [mm] y_S [/mm] ergeben sich
aus einfachen Symmetriebetrachtungen.
Gruß ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Skyler |
super erklärt vielen dank, jetzt hab ichs verstanden!
ich hoffe ich habs dann richtig gemacht, lau meiner zeichnung müsste der gesamtschwerpunkt dann bei
[mm] S \left(\bruch{\pi}{2} \ 0 \ \bruch{1}{3} \right )[/mm]
liegen?
viele grüße und vielen dank
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> super erklärt vielen dank, jetzt hab ichs verstanden!
>
> ich hoffe ich habs dann richtig gemacht, laut meiner
> zeichnung müsste der gesamtschwerpunkt dann bei
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> [mm]S \left(\bruch{\pi}{2} \ 0 \ \bruch{1}{3} \right )[/mm] liegen?
Ja; dieses Ergebnis habe ich ja schon vorher angegeben.
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