Schwerpunkt von Kugeln < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Drei Kugeln mit einem Radius von jeweils r, 2r und
3r liegen wie im oberen Teil der Skizze gezeigt mit den
Mittelpunkten auf einer Linie direkt nebeneinander. Sie
bestehen alle aus dem gleichen homogenen Material.
Wo liegt der Schwerpunkt dieser Anordnung ?
b) Eine kreisförmige Platte des Radius 2r hat eine
kreisförmige Aussparung des Radius r in der rechten
Hälfte (siehe unterer Teil der Skizze). Wo liegt der
Schwerpunkt? |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
habe große, sehr große Probleme mit dieser Aufgabe. Hab null Ahnung wie ich die lösen soll. Hab schon geguckt ob eine ähnliche FRage hier bereits gelöst wurde, aber es war nix zu finden!!
mfg Eure Linda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 24.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Linda!
Der Schwerpunkt liegt aus Symmetriegründen jeweils auf der angezeichneten Achse durch die Mittelpunkte. Um nun den Abstand (z.B. vom äußersten rechten Rand) zu ermitteln, musst Du die 3 Einzelflächen mit ihren jeweiligen Hebeln zu diesem Punkt ermitteln:
Fläche 1: [mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2$
[/mm]
Hebel 1: [mm] $e_1 [/mm] \ = \ 2*3r+2*2r+1*r \ = \ 11*r$
Fläche 2: [mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \pi*(2r)^2 [/mm] \ = \ [mm] 4\pi*r^2$
[/mm]
Hebel 2: [mm] $e_2 [/mm] \ = \ 2*3r+1*2r \ = \ 7*r$
Fläche 3: [mm] $A_3 [/mm] \ = \ [mm] \pi*(3r)^2 [/mm] \ = \ [mm] 9\pi*r^2$
[/mm]
Hebel 3: [mm] $e_3 [/mm] \ = \ 1*3r \ = \ 3*r$
Nun weiter mit der Formel [mm] $e_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe A_i*e_1}{\summe A_i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A_1*e_1+A_2*e_2+A_3*e_3}{A_1+A_2+A_3} [/mm] \ = \ ...$
Dabei gibt also [mm] $e_s$ [/mm] den Abstand des gesuchten Schwerpunktes vom rechten Rand des großen Kreises an.
Gruß
Loddar
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Hallo, wenn ich deine Fornel benutze, komme ich auf einen Abstand von rechts von 4,71 m, die Lösung ist allerdings mit 7,67m von links angegeben. Wie kommt diese Differenz zustande?? Und die Regelmäßigkeit beim Hebel ist immer, dass man von einer Seite kommt, diesen Radius einmal einbringt und alle noch folgenden Radien 2mal??
Bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Linda,
die Antwort von Loddar ist prinzipiell richtig, allerdings hat er sich einmal beim Zusammenaddieren vertan.
Generell geht man bei so einer Aufgabe so vor, dass man die Flächen der drei Kreise bestimmt und anschließend den Hebel, sprich den Abstand des Schwerpunktes jedes dieser Kreise zu einem Koordinatennullpunkt. Loddar hat diesen Punkt auf die rechte Seite gelegt, Du hast ein Ergebnis mit Bezug auf die linke Seite und so rechne ich Dir jetzt mal die Sache vor.
Also, die Null liegt links.
Kleiner Kreis: Fläche [mm] \pi r^2 [/mm] Abstand: r
Mittlerer Kreis: Fläche [mm] 4 \pi r^2 [/mm] Abstand: 4r
Großer Kreis: Fläche [mm] 9 \pi r^2 [/mm] Abstand: 9r
Die Gesamtfläche ergibt [mm] 14 \pi r^2 [/mm] und das Ausmultiplizieren von Fläche und jeweiligem Hebelabstand ergibt etwas mit dem Radius in der dritten Potenz, multipliziert mit Pi und den Vorfaktoren 1, 16, und 81.
Diese zusammenaddiert ergibt 98 und das durch die Fläche dividiert ergibt einen Wert von 7r. Das ist die Lage des Schwerpunktes, dein Ergebnis, da bin ich ziemlich sicher, ist falsch.
Rechne es doch mal zur Kontrolle mit dem Bezugspunkt auf der rechten Seite aus und Du wirst auf 5r kommen, was ja sinnvoll ist, da die gesamte Länge 12r beträgt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mi 25.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linda,
abgesehen davon, dass Loddar an einer Stelle 7r statt 8r geschrieben hat, hat er den Schwerpunkt von Kreisscheiben, nicht von Kugeln berechnet.
Bei den Kugeln geht es ganz genauso, nur das man statt der Fläche
[mm]A = \pi (\mathrm{Radius})^2[/mm]
das Volumen
[mm]V = \bruch{4\pi}{3} (\mathrm{Radius})^3[/mm]
nehmen muss.
Also nimmt man den Abstand der Kugelschwerpunkte vom rechten Rand und hat:
Volumen 1: [mm] $V_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4\pi}{3}*r^3$
[/mm]
Hebel 1: [mm] $e_1 [/mm] \ = \ 2*3r+2*2r+1*r \ = \ 11*r$ (Abstand des Mittelpunkts der linken Kugel vom rechten Rand)
Volumen 2: [mm] $V_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4\pi}{3}*(2r)^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4\pi}{3}*8*r^3$
[/mm]
Hebel 2: [mm] $e_2 [/mm] \ = \ 2*3r+1*2r \ = \ 8*r$ (Abstand des Mittelpunkts der mittleren Kugel vom rechten Rand)
Volumen 3: [mm] $V_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4\pi}{3}*(3r)^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4\pi}{3}*27*r^3$
[/mm]
Hebel 3: [mm] $e_3 [/mm] \ = \ 1*3r \ = \ 3*r$ (Abstand des Mittelpunkts der rechten Kugel vom rechten Rand)
Und weiter mit der Formel [mm] $e_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe V_i*e_1}{\summe V_i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{V_1*e_1+V_2*e_2+V_3*e_3}{V_1+V_2+V_3} [/mm] \ = \ ...$
Wenn ich das einsetze bekomme ich [mm]e_s = \bruch{156}{36}r \approx 4,33 r[/mm]. Und da das linke Ende gerade 12r vom rechten Ende entfernt ist, kommt von links gemessen [mm]12 r - 4,33 r = 76.7r[/mm] raus.
Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Linda,
wenn Du Dir den Aufgabenteil a) verdeutlicht hast, ist es auch nicht mehr schwer, Teil b) zu rechnen. Das eine Objekt ist eine Kugel und zwar komplett, das Loch ist auch ein Kugel, wenn auch mit negativer Masse bzw. Gewichtung.
So kommst Du auf den Schwerpunkt dieses "Emmentalers".
Viele Grüße,
Infinit
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