Schwerpunkt von Rotationskörpe < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Ienstien |
| Aufgabe | | Gegeben seien die Funktionen [mm] f(x)=x^n [/mm] und [mm] g(x)=x^m [/mm] für 0<=x<=1 und m>n>=0. Die Fläche zwischen den Graphen von f(x) und g(x) rotiert um die x-Achse. Bestimme die Schwerpunktskoordinaten des entstehenden Rotationskörpers. |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
In meiner Formelsammlung habe ich nur die Formel für einen Rotationskörper, der durch EINEN Graphen bei Rotation um x-Achse entsteht.
Was mache ich aber in diesem Fall? Berechne ich den Schwerpunkt der Rotation von h(x)=g(x) - f(x), also am Schluss x * (g(x) - [mm] f(x))^2 [/mm] als Integrand?
Oder nehme ich die Differenz der beiden Schwerpunkte, also am Schluss [mm] x*(g(x)^2 [/mm] - [mm] f(x)^2) [/mm] als Integrand?
Mein Bauchgefühl sagt mir, dass das zweite stimmt, da man es analog auch beim Schwerpunkt von Flächen machen würde...
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Hallo lenstien,
> Gegeben seien die Funktionen [mm]f(x)=x^n[/mm] und [mm]g(x)=x^m[/mm] für
> 0<=x<=1 und m>n>=0. Die Fläche zwischen den Graphen von
> f(x) und g(x) rotiert um die x-Achse. Bestimme die
> Schwerpunktskoordinaten des entstehenden Rotationskörpers.
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. )
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> In meiner Formelsammlung habe ich nur die Formel für einen
> Rotationskörper, der durch EINEN Graphen bei Rotation um
> x-Achse entsteht.
> Was mache ich aber in diesem Fall? Berechne ich den
> Schwerpunkt der Rotation von h(x)=g(x) - f(x), also am
> Schluss x * (g(x) - [mm]f(x))^2[/mm] als Integrand?
> Oder nehme ich die Differenz der beiden Schwerpunkte, also
> am Schluss [mm]x*(g(x)^2[/mm] - [mm]f(x)^2)[/mm] als Integrand?
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> Mein Bauchgefühl sagt mir, dass das zweite stimmt, da man
> es analog auch beim Schwerpunkt von Flächen machen
> würde...
>
Dein Bauchgefühl stimmt.
Mit [mm]x_{S}={\bruch{\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{x*h^{2}\left(x\right) \ dx}}{\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{h^{2}\left(x\right) \ dx}}}[/mm] berechne ich den Schwerpunkt des Rotationskörpers, der durch Drehung eines Flächenstückes um die x-Achse entsteht, das von [mm]y=h\left(x\right)[/mm] und [mm]y=0[/mm] begrenzt ist.
Ist aber das Flächenstück durch die beiden Kurven [mm]y=f\left(x\right)[/mm] und [mm]y=g\left(x\right)[/mm] begrenzt, so gilt:
[mm]x_{S}=\bruch{\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{x*\left(f^{2}\left(x\right)-g^{2}\left(x\right)\right) \ dx}}{\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(f^{2}\left(x\right)-g^{2}\left(x\right)\right) \ dx}}[/mm]
Gruß
MathePower
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