Schwerpunktberechnung < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | 1. Zerlegen Sie den Querschnitt in geeignete Teilflächen und berechnen sie deren Einzelschwerpunkte und Flächen.
2. Berechnen Sie den Gesamtschwerpunkt in allgemeiner Form.
3. Geben Sie den Gesamtschwerpunkt für den Sonderfall h1=5a, h2=h3=a, b1=2a, b2=b3=a
4. Bestimmen Sie das Gesamt-Flächenträgheitsmoment [mm] I_{a} [/mm] des Balkens bezüglich des in 3. berechneten Gesamt-Schwerpunktes als Funktion von a. |
Hallo,
ich hätte ein paar Fragen zu meinen Zwischenergebnissen, denn mit falschen Ergebnissen möchte ich ungerne weiterrechnen.
Zu Aufgabe 1:
Ich habe den Gesamtkörper in drei Körper aufgeteilt.
1. Ein großes Rechteck oberhalb der x-Achse
2. Der Halbkreis oberhalb der x-Achse
3. Die beiden Rechtecke unterhalb der x-Achse.
Zu Körper 1:
[mm] y_{S1}=0
[/mm]
[mm] z_{S1}=\bruch{h3+h2}{2}
[/mm]
[mm] A_{1}=2*(h3+h2)*(b2+b1)
[/mm]
Zu Körper 2:
[mm] y_{S2}=0
[/mm]
[mm] z_{S2}=h2+\bruch{4*b3}{3\pi}
[/mm]
[mm] A_{2}=\bruch{\pi*b3^{2}}{2}
[/mm]
Zu Körper 3:
[mm] y_{S3}=0
[/mm]
[mm] z_{S3}=-\bruch{h1}{2}
[/mm]
[mm] A_{3}=2*b2*h1
[/mm]
Und dann habe ich noch [mm] A_{ges} [/mm] ausgerechnet, das ist dann:
[mm] A_{ges}=A_{1}-A_{2}+A_{3}
[/mm]
[mm] =2*(h3+h2)*(b2+b1)-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}+2*b2*h1
[/mm]
Und ich könnte doch noch h3 durch b3 ersetzen, oder? Dann wäre das doch
[mm] =2*(b3+h2)*(b2+b1)-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}+2*b2*h1
[/mm]
Zum Gesamtschwerpunkt:
[mm] y_{Sges}=0
[/mm]
[mm] z_{Sges}= \bruch{1}{A_{ges}}*\summe_{i=1}^{3} A_{i}*z_{Si}
[/mm]
Aber das ist ja ein total langes und kompliziertes Ergebnis mit den Sachen die ich vorher habe irgendwie :(
Was sagt ihr dazu?
lg elfe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Elfe,
>
> 1. Zerlegen Sie den Querschnitt in geeignete Teilflächen
> und berechnen sie deren Einzelschwerpunkte und Flächen.
>
> 2. Berechnen Sie den Gesamtschwerpunkt in allgemeiner
> Form.
>
> 3. Geben Sie den Gesamtschwerpunkt für den Sonderfall
> h1=5a, h2=h3=a, b1=2a, b2=b3=a
>
> 4. Bestimmen Sie das Gesamt-Flächenträgheitsmoment [mm]I_{a}[/mm]
> des Balkens bezüglich des in 3. berechneten
> Gesamt-Schwerpunktes als Funktion von a.
>
> Hallo,
>
> ich hätte ein paar Fragen zu meinen Zwischenergebnissen,
> denn mit falschen Ergebnissen möchte ich ungerne
> weiterrechnen.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Ich habe den Gesamtkörper in drei Körper aufgeteilt.
> 1. Ein großes Rechteck oberhalb der x-Achse
> 2. Der Halbkreis oberhalb der x-Achse
> 3. Die beiden Rechtecke unterhalb der x-Achse.
>
> Zu Körper 1:
>
> [mm]y_{S1}=0[/mm]
>
> [mm]z_{S1}=\bruch{h3+h2}{2}[/mm]
>
> [mm]A_{1}=2*(h3+h2)*(b2+b1)[/mm]
>
>
> Zu Körper 2:
>
> [mm]y_{S2}=0[/mm]
>
> [mm]z_{S2}=h2+\bruch{4*b3}{3\pi}[/mm]
>
Hier muss es doch eher heißen:
[mm]z_{S2}=h2\red{+h3}\blue{-}\bruch{4*b3}{3\pi}[/mm]
> [mm]A_{2}=\bruch{\pi*b3^{2}}{2}[/mm]
>
>
> Zu Körper 3:
>
> [mm]y_{S3}=0[/mm]
>
> [mm]z_{S3}=-\bruch{h1}{2}[/mm]
>
> [mm]A_{3}=2*b2*h1[/mm]
>
>
> Und dann habe ich noch [mm]A_{ges}[/mm] ausgerechnet, das ist dann:
>
> [mm]A_{ges}=A_{1}-A_{2}+A_{3}[/mm]
>
> [mm]=2*(h3+h2)*(b2+b1)-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}+2*b2*h1[/mm]
>
> Und ich könnte doch noch h3 durch b3 ersetzen, oder? Dann
> wäre das doch
>
> [mm]=2*(b3+h2)*(b2+b1)-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}+2*b2*h1[/mm]
>
> Zum Gesamtschwerpunkt:
> [mm]y_{Sges}=0[/mm]
>
> [mm]z_{Sges}= \bruch{1}{A_{ges}}*\summe_{i=1}^{3} A_{i}*z_{Si}[/mm]
>
> Aber das ist ja ein total langes und kompliziertes Ergebnis
> mit den Sachen die ich vorher habe irgendwie :(
>
> Was sagt ihr dazu?
>
> lg elfe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 18.08.2011 | | Autor: | Elfe |
Danke erstmal!
Den Fehler, den ich gemacht habe, kann ich nachvollziehen.
Ist denn b3=h3 auch im Allgemeinfall? So dass ich das schon bei der allgemeinen Schwerpunktberechnung benutzen kann? Oder gilt das erst im Sonderfall, der danach kommt?
Mein Gesamtschwerpunkt wäre dann jetzt :
[mm] z_{Sges}=\bruch{1}{A_{ges}}*((h2+h3)^{2}*(b1+b2)-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}*(h2+h3-\bruch{4*b3}{3\pi})-b2*h1^{2})
[/mm]
wobei [mm] A_{ges}=2*(h2+h3)*(b1+b2)+2*b2*h1-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}
[/mm]
ist. Wäre das jetzt richtig? Möchte ungern mit falschen Sachen weiterrechnen.
Gruß Elfe
|
|
|
| |
|
Hallo Elfe,
> Danke erstmal!
>
> Den Fehler, den ich gemacht habe, kann ich nachvollziehen.
>
> Ist denn b3=h3 auch im Allgemeinfall? So dass ich das schon
> bei der allgemeinen Schwerpunktberechnung benutzen kann?
> Oder gilt das erst im Sonderfall, der danach kommt?
Da über das Verhältnis von b3 und h3 nichts ausgesagt ist,
gilt auch nicht unbedingt b3=h3.
>
> Mein Gesamtschwerpunkt wäre dann jetzt :
>
> [mm]z_{Sges}=\bruch{1}{A_{ges}}*((h2+h3)^{2}*(b1+b2)-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}*(h2+h3-\bruch{4*b3}{3\pi})-b2*h1^{2})[/mm]
>
> wobei
> [mm]A_{ges}=2*(h2+h3)*(b1+b2)+2*b2*h1-\bruch{\pi*b3^{2}}{2}[/mm]
>
> ist. Wäre das jetzt richtig? Möchte ungern mit falschen
> Sachen weiterrechnen.
>
> Gruß Elfe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 18.08.2011 | | Autor: | Elfe |
Ok gut, dann schließe ich mal vorsichtshalber nicht daraus. Aber ist mein Ergebnis denn sonst richtig? Kann mir das jemand sagen?
Gruß Elfe
|
|
|
| |
|
Hallo Elfe,
> Ok gut, dann schließe ich mal vorsichtshalber nicht
> daraus. Aber ist mein Ergebnis denn sonst richtig? Kann mir
> das jemand sagen?
Die Gesamtfläche [mm]A_{ges}[/mm] ist richtig,
während das über den Gesamtschwerpunkt [mm]z_{Sges}[/mm]
nicht unbedingt gesagt werden kann.
Daher stelle ich die Frage auf teilweise beantwortet.
>
> Gruß Elfe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Elfe |
Wieso ist der Gesamtschwerpunkt in Z Richtung nicht richtig? Ich weiß nicht was daran falsch sein soll.
Gruß
Elfe
|
|
|
| |
|
Hallo Elfe,
> Wieso ist der Gesamtschwerpunkt in Z Richtung nicht
> richtig? Ich weiß nicht was daran falsch sein soll.
>
Ich hab das nochmal in Ruhe nachgerechnet
und komme auf dasselbe Ergebnis für den
Gesamtschwerpunkt wie Du.
>
> Gruß
>
> Elfe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 22.08.2011 | | Autor: | Elfe |
Vielen Dank für deine Mühe.
Ich musste ja auch noch das Gesamtflächenträgheitsmoment berechnen. Wäre es möglich wenn da auch mal jemand drüber schaut? Es soll sich um den Sonderfall handeln
Erstmal für die Einzelkörper:
[mm] I_{a1}=\bruch{2*(a+2a)*(a+a)^{3}}{12}=4*a^{4}
[/mm]
[mm] I_{a2}=\bruch{\pi*a^{4}}{8}-\bruch{8*a^{4}}{9\pi}=0,11*a^{4}
[/mm]
[mm] I_{a3}=2*\bruch{a*(5a)^{3}}{12}=20,83*a^{4}
[/mm]
Und dann habe ich noch jeweils den Steineranteil berechnet mit der Formel:
[mm] I_{ST}= (z_{s-Körper}-z_{s-Gesamt})^{2}*A_{Körper} [/mm]
[mm] I_{ST1}=(1-(-0,76a))^{2}*4a*3a=37,17*a^{4}
[/mm]
[mm] I_{ST2}=(2a-\bruch{4a}{3\pi}-(-0,76a))^{2}*\bruch{\pi*a^{2}}{2} [/mm] = [mm] 8,57*a^{4}
[/mm]
[mm] I_{ST3}=(-\bruch{5}{2}*a-(-0,76a))^{2}*10*a^{2}*2 [/mm] = [mm] 30,28*a^{4}
[/mm]
Dann ergibt sich für mich für das Gesamt-Trägheitsmoment:
[mm] I_{a-ges}=I_{a1}+I_{ST1}-I_{a2}-I_{ST2}+I_{a3}+I_{ST3}
[/mm]
[mm] =4*a^{4}+37,17*a^{4}-0,11*a^{4}-8,57*a^{4}+20,83*a^{4}+30,28*a^{4}
[/mm]
= [mm] 83,60*a^{4}
[/mm]
Ich habe dabei immer mit Werten gearbeitet, die auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet waren. Ist mein Ergebnis so richtig?
Kann mir vielleicht jemand nochmal erklären, was genau es mit diesem Steiner-Anteil auf sich hat? Das habe ich nicht so genau verstanden, wieso ich den immer berücksichtigen muss.
Lg Elfe
|
|
|
| |
|
Hallo Elfe,
> Vielen Dank für deine Mühe.
> Ich musste ja auch noch das Gesamtflächenträgheitsmoment
> berechnen. Wäre es möglich wenn da auch mal jemand
> drüber schaut? Es soll sich um den Sonderfall handeln
>
> Erstmal für die Einzelkörper:
>
> [mm]I_{a1}=\bruch{2*(a+2a)*(a+a)^{3}}{12}=4*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{a2}=\bruch{\pi*a^{4}}{8}-\bruch{8*a^{4}}{9\pi}=0,11*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{a3}=2*\bruch{a*(5a)^{3}}{12}=20,83*a^{4}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und dann habe ich noch jeweils den Steineranteil berechnet
> mit der Formel:
>
> [mm]I_{ST}= (z_{s-Körper}-z_{s-Gesamt})^{2}*A_{Körper}[/mm]
>
>
> [mm]I_{ST1}=(1-(-0,76a))^{2}*4a*3a=37,17*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{ST2}=(2a-\bruch{4a}{3\pi}-(-0,76a))^{2}*\bruch{\pi*a^{2}}{2}[/mm]
> = [mm]8,57*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{ST3}=(-\bruch{5}{2}*a-(-0,76a))^{2}*10*a^{2}*2[/mm] =
> [mm]30,28*a^{4}[/mm]
>
> Dann ergibt sich für mich für das
> Gesamt-Trägheitsmoment:
>
> [mm]I_{a-ges}=I_{a1}+I_{ST1}-I_{a2}-I_{ST2}+I_{a3}+I_{ST3}[/mm]
>
> [mm]=4*a^{4}+37,17*a^{4}-0,11*a^{4}-8,57*a^{4}+20,83*a^{4}+30,28*a^{4}[/mm]
>
> = [mm]83,60*a^{4}[/mm]
>
>
> Ich habe dabei immer mit Werten gearbeitet, die auf zwei
> Stellen nach dem Komma gerundet waren. Ist mein Ergebnis so
> richtig?
>
Ob das Ergebnis richtig ist oder nicht, kann ich nicht sagen.
Auf jeden Fall ist bis zum Erreichen des
Endergebnisses mit exakten Werten zu rechnen.
>
> Kann mir vielleicht jemand nochmal erklären, was genau es
> mit diesem Steiner-Anteil auf sich hat? Das habe ich nicht
> so genau verstanden, wieso ich den immer berücksichtigen
> muss.
>
> Lg Elfe
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Elfe,
> Vielen Dank für deine Mühe.
> Ich musste ja auch noch das Gesamtflächenträgheitsmoment
> berechnen. Wäre es möglich wenn da auch mal jemand
> drüber schaut? Es soll sich um den Sonderfall handeln
>
> Erstmal für die Einzelkörper:
>
> [mm]I_{a1}=\bruch{2*(a+2a)*(a+a)^{3}}{12}=4*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{a2}=\bruch{\pi*a^{4}}{8}-\bruch{8*a^{4}}{9\pi}=0,11*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{a3}=2*\bruch{a*(5a)^{3}}{12}=20,83*a^{4}[/mm]
>
>
> Und dann habe ich noch jeweils den Steineranteil berechnet
> mit der Formel:
>
> [mm]I_{ST}= (z_{s-Körper}-z_{s-Gesamt})^{2}*A_{Körper}[/mm]
>
>
> [mm]I_{ST1}=(1-(-0,76a))^{2}*4a*3a=37,17*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{ST2}=(2a-\bruch{4a}{3\pi}-(-0,76a))^{2}*\bruch{\pi*a^{2}}{2}[/mm]
> = [mm]8,57*a^{4}[/mm]
>
> [mm]I_{ST3}=(-\bruch{5}{2}*a-(-0,76a))^{2}*10*a^{2}*2[/mm] =
> [mm]30,28*a^{4}[/mm]
>
> Dann ergibt sich für mich für das
> Gesamt-Trägheitsmoment:
>
> [mm]I_{a-ges}=I_{a1}+I_{ST1}-I_{a2}-I_{ST2}+I_{a3}+I_{ST3}[/mm]
>
> [mm]=4*a^{4}+37,17*a^{4}-0,11*a^{4}-8,57*a^{4}+20,83*a^{4}+30,28*a^{4}[/mm]
>
> = [mm]83,60*a^{4}[/mm]
>
>
> Ich habe dabei immer mit Werten gearbeitet, die auf zwei
> Stellen nach dem Komma gerundet waren. Ist mein Ergebnis so
> richtig?
>
Genauer:
[mm]\bruch{301232-17628*\pi+9*\pi^{2}}{3168-72*\pi}a^{4} \approx 83,60 a^{4}[/mm]
Ja, das Ergebnis ist so richtig.
>
> Kann mir vielleicht jemand nochmal erklären, was genau es
> mit diesem Steiner-Anteil auf sich hat? Das habe ich nicht
> so genau verstanden, wieso ich den immer berücksichtigen
> muss.
Der Flächenschwerpunkt einer Teilfläche fällt hier nicht
mit dem Flächenschwerpunkt der Gesamtfläche zusammen,
daher ist hier der Steiner-Anteil zu berücksichtigen.
>
> Lg Elfe
Gruss
MathePower
|
|
|
|
