Schwerpunktberechnung eines Rotationskörper < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mi 07.07.2004 | | Autor: | hausi3 |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
hallo zusammen,
kann mir jemand erklären wie man den Schwerepunkt eines Rotationskörpers in Polarkoordinaten findet (also zB. eine Herzkurve. Und wenn möglich auch die Formel für Parameter-Form.
vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 08.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Die allgemeine Formel für den Schwerpunkt lautet
[mm]\vec S=\frac{1}{M}\int\!\int\!\int\rho\cdot\vec s\,d^3V[/mm].
Jetzt musst Du für das Volumenelement noch [mm]rd\phi\,dr\,dz[/mm] setzen, wenn Du in Polarkoordinaten bist. Allerdings ist das ganze dreidimensional. Aus Deiner Aufgabenstellung entnehme ich, das Du das ganze nur in zwei Dimensionen behandeln sollst. Damit kannst Du die [mm]z[/mm]-Komponente weglassen und die Dichte [mm]\rho[/mm] wird zur Flächendichte [mm]\sigma[/mm]:
[mm]\vec S=\frac{1}{M}\int\!\int\sigma \cdot \vec s\,r\d\phi\,dr[/mm].
Um das jetzt berechnen zu können musst Du das Ganze noch geeignet parametrisieren. Ich empfehle Dir
[mm]\vec S=\frac{1}{M}\integral_{\phi=0}^{2\pi}\!\integral_{r=0}^{r(\phi)}\sigma(\phi,r) \begin{pmatrix}r\cos\phi\\r\sin\phi\end{pmatrix} \,rdr\,d\phi[/mm].
Ich gehe mal davon aus, das [mm]\sigma[/mm] bei Dir konstant ist. Übrigens $M$ ist die Gesamtmasse und berechnet sich aus
[mm]M=\int\!\int\!\int \rho \,d^3V[/mm]
Im zweidimensionalen entsprechend mit [mm] $\sigma$. [/mm] Für die Berechnung musst Du das dann wieder parametrisieren (wie oben) nur ohne den Ortsvektor.
Gruß
Christian
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