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Hallo,
ich soll dies hier ableiten:
[mm] f(x)=(3x)^{(1-2x)}
[/mm]
Kann ich hier nicht die Produktregel anwenden, da ich auch schreiben kann:
[mm] f(x)=3^{(1-2x)}*x^{(1-2x)} [/mm] ?
dann würde ich [mm] 3^{(1-2x)} [/mm] nach der Form [mm] f(x)=a^{x} \to [/mm] f'(x)=(ln [mm] a)*a^{x} [/mm] ableiten und [mm] x^{(1-2x)} [/mm] ganz normal nach der Form [mm] f(x)=x^{n} \to f'(x)=n*x^{n-1}.
[/mm]
Das ist bestimmt nicht richtig, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
Hi Andi,
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> ich soll dies hier ableiten:
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> [mm]f(x)=(3x)^{(1-2x)}[/mm]
Ist da ein Definitionsbereich angegeben? Ich gehe mal von x>0 aus.
>
> Kann ich hier nicht die Produktregel anwenden, da ich auch
> schreiben kann:
>
> [mm]f(x)=3^{(1-2x)}*x^{(1-2x)}[/mm] ?
>
> dann würde ich [mm]3^{(1-2x)}[/mm] nach der Form [mm]f(x)=a^{x} \to[/mm]
> f'(x)=(ln [mm]a)*a^{x}[/mm] ableiten und [mm]x^{(1-2x)}[/mm] ganz normal nach
> der Form [mm]f(x)=x^{n} \to f'(x)=n*x^{n-1}.[/mm]
>
> Das ist bestimmt nicht richtig, oder?
>
Dein Gefühl ist leider richtig, das stimmt so nicht. Das Problem, warum du es so nicht machen kannst, ist das bei [mm] (3x)^{1-2x} [/mm] ein x sowohl in der Basis, als auch im Exponenten vorkommt. Da brauchst du einen Trick. Gemäß [mm] $x=e^{ln(x)}$ [/mm] (eigentlich nur für x>0, aber das lassen wir mal kurz unbeachtet) kannst du schreiben:
[mm] (3x)^{1-2x}=e^{ln((3x)^{1-2x})}=e^{(1-2x)*ln(3x)}
[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen wegen des Logarithmengesetzes: $ln( [mm] a^b)=b*ln(a)$
[/mm]
Das kannst du jetzt wie gewohnt mit per Kettenregel und Produktregel ableiten.
LG walde
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Ok, das ist etwas tricky mit dem Umformen. Ich versuche es mir zu merken.
Ich habe nun raus:
[mm] f'(x)=(\bruch{1-2x}{3x}-2 ln(3x))*(3x)^{(1-2x)}
[/mm]
Eine Frage habe ich noch. Wenn ich das ganze bei Wolfram Alpha ableite, spuckt das mir aus:
f'(x)= [mm] (\bruch{1}{x}-2ln(3x)-2)*(3x)^{(1-2x)}
[/mm]
Wohin ist denn die 3 im Nenner des Bruches verschwunden? Ich kann doch höchstens [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ausklammern!?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, das ist etwas tricky mit dem Umformen. Ich versuche es
> mir zu merken.
Das ist ein recht häüfiger Trick, den sollte man im Hinterkopf behalten.
>
> Ich habe nun raus:
>
> [mm]f'(x)=(\bruch{1-2x}{3x}-2 ln(3x))*(3x)^{(1-2x)}[/mm]
>
> Eine Frage habe ich noch. Wenn ich das ganze bei Wolfram
> Alpha ableite, spuckt das mir aus:
>
> f'(x)= [mm](\bruch{1}{x}-2ln(3x)-2)*(3x)^{(1-2x)}[/mm]
>
> Wohin ist denn die 3 im Nenner des Bruches verschwunden?
> Ich kann doch höchstens [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ausklammern!?
Du hast:
[mm] $f(x)=(3x)^{1-2x}=e^{\ln((3x)^{1-2x})}=e^{(1-2x)\cdot{}\ln(3x)}$
[/mm]
Betrachten wir mal den Exponenten getrennt, es gilt:
[mm] $g(x)=\underbrace{(1-2x)}_{u}\cdot{}\underbrace{\ln(3x)}_{v}$
[/mm]
Also:
[mm] $g(x)=\underbrace{(-2)}_{u'}\cdot{}\underbrace{\ln(3x)}_{v}+\underbrace{(1-2x)}_{u}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{3x}\cdot 3}_{v' (Kettenr.)}$
[/mm]
[mm] =-2\ln(3x)+\frac{1-2x}{x}
[/mm]
Dein Fehler war also, die innere Ableitung, bei dem Logarithmusterm zu übersehen.
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>
> Gruß, Andreas
>
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Dankeschön!
Gruß, Andreas
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