Schwingende Saite < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 07.06.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Eine schwingende Saite wird durch die partielle Differentialgleichung
(1) [mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}
[/mm]
beschrieben. Dabei bezeichnet u(x, t) die Auslenkung der Saite zum Zeitpunkt t am Ort x und c > 0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Für Konstanten [mm] C_1,C_2\in \IR [/mm] und zweimal differenzierbare Funktionen f, g : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] setze
$u(x,t) = C_1f(x - ct) + C_2g(x + ct)$
Weisen Sie nach, dass u eine Lösung der Schwingungsgleichung (1) ist. |
ich weiß hier leider nicht so genau, wie man das allgemein zeigt, in der übung hatten wir eine konkrete Funktion.
ich dachte, dass
[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial t^2} [/mm] = [mm] C_1\bruch{\partial^2 f}{\partial t^2} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g}{\partial t^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] = [mm] C_1\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g}{\partial x^2}
[/mm]
da, f und g nicht konkret gegeben ist, wüsste ich jetzt nicht, wie ich die zwei Terme in Bezug setzen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
da deine Funktion linear von $x$ und $t$ abhaengt, also $f=f(x+ct)$ kann man die partiellen Ableitungen nach $x$ und nach $t$ durcheinaner ausdruecken.
Nehmen wir zB $f(x+ct) = [mm] (x+ct)^2$ [/mm] an. Dann gilt
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = 2(x+ct)$
aber auch
[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = 2c(x+ct)$
Das kann man nun verallgemeinern fuer Funktionen, die von $x+ct$ abhaengen. (Indem man sich ueberlegt, dass es eben, bis auf das $c$ das selbe ist, ob man nun nach $x$ oder nach $t$ ableitet, da [mm] $\frac{\partial(x+ct)}{\partial x} [/mm] = 1 = [mm] \frac{1}{c} \frac{\partial(x+ct)}{\partial t}$ [/mm] ist, bzw. indem man sich [mm] $f(\Phi(x,t))$ [/mm] ansieht, das nach $x$ und $t$ partiell ableitet mit Hilfe der Kettenregel, und dann [mm] $\Phi(x,t) [/mm] = x+ct$ ausnutzt, was letztlich wieder auf die Verbindung der Ableitung des linearen Terms $x+ct$ nach $x$ und nach $t$ fuehrt.. Da kann man dann direkt allgemein zeigen, dass diese Beziehung, die mit der 'Testfunktion' oben gefunden worden ist, auch allgemein gilt).
Wenn man diese Ueberlegung dann auf $f$ und $g$ uebertraegt, sieht man, dass die allgemeine Funktion die Schwingungsgleichung loest.
PS: Es muesste doch eigentlich $f(x-ct)$ heissen, da ist wohl irgendetwas in [mm] $\LaTeX$ [/mm] kaputt gegangen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 07.06.2010 | | Autor: | johnyan |
ah, ok, vielen dank, der weg mit der kettenregel war hilfreich.
kann ich das also so aufschreiben?
sei f(x-ct)=f(v), also v=x-ct, und g(x+ct)=w, w=x+ct
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial t} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial t} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial t} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial t} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v} [/mm] (-c) + [mm] C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w} [/mm] c
[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial t^2} [/mm] = (-c) [mm] C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial t \partial v} [/mm] + c [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial t \partial w} [/mm] = -c [mm] C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial t} [/mm] + c [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial t} [/mm] = [mm] c^2 \left( C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} + C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w}\right)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial x} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial x} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial x} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial x \partial v} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial x \partial w} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial x} [/mm] = [mm] C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} [/mm] + [mm] C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> ah, ok, vielen dank, der weg mit der kettenregel war
> hilfreich.
>
> kann ich das also so aufschreiben?
>
> sei f(x-ct)=f(v), also v=x-ct, und g(x+ct)=w, w=x+ct
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}[/mm] = [mm]C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial t}[/mm]
> + [mm]C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial t}[/mm] = [mm]C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial t}[/mm]
> + [mm]C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial t}[/mm]
> = [mm]C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v}[/mm] (-c) + [mm]C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w}[/mm]
> c
>
> [mm]\bruch{\partial^2 u}{\partial t^2}[/mm] = (-c) [mm]C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial t \partial v}[/mm]
> + c [mm]C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial t \partial w}[/mm] = -c
> [mm]C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial t}[/mm]
> + c [mm]C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial t}[/mm]
> = [mm]c^2 \left( C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} + C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w}\right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] = [mm]C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial x}[/mm]
> + [mm]C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial x}[/mm] = [mm]C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
> + [mm]C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial x}[/mm]
> = [mm]C_1 \bruch{\partial f(v)}{\partial v}[/mm] + [mm]C_2 \bruch{\partial g(w)}{\partial w}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm] = [mm]C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial x \partial v}[/mm]
> + [mm]C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial x \partial w}[/mm] = [mm]C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v} \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
> + [mm]C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w} \bruch{\partial w}{\partial x}[/mm]
> = [mm]C_1 \bruch{\partial^2 f(v)}{\partial v}[/mm] + [mm]C_2 \bruch{\partial^2 g(w)}{\partial w}[/mm]
>
Was machst Du denn da. Manchmal kann man sich das Leben wirklich schwer machen.
Es ist
[mm] $u_x=C_1f'(x-ct)+C_2g'(x+ct)$
[/mm]
[mm] $u_t=-c*C_1f'(x-ct)+c*C_2g'(x+ct)$
[/mm]
Jetzt machst Du weiter
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 08.06.2010 | | Autor: | johnyan |
[mm]\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} = C_1f''(x-ct)+C_2g''(x+ct)[/mm]
[mm]\bruch{\partial^2 u}{\partial t^2} = (-c)^2C_1f''(x-ct)+c^2C_2g''(x+ct)=c^2[C_1f''(x-ct)+C_2g''(x+ct)]=c^2\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm]
Dann einfach so, ohne ausführlich die Kettenregel hinzuschreiben? Ist denn das, was ich weiter oben geschrieben habe, falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Di 08.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist soweit ich Lust hatte das zu lesen, nicht falsch, aber so unglaublich umständlich aufgeschrieben, dass man kaum mehr durchsehen kann. Also ist es nur wahrscheinlich richtig.
(warum erst v und w einführen und nicht gleich die kettenregel benutzen?)
Gruss leduart
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