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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Mi 14.03.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Energieerhalt einer beidseitig eingespannten Saite:
Berechnen Sie die Energie, welche in einer beidseitig eingespannten Saite gespeichert ist. |
Hallo liebes Forum :)
Habe dieses Bsp. als Aufgabe bekommen und habe 2 mögliche Ansätze entdeckt.
Der Ansatz, welchen ich hier gerne besprechen würde ist:
[mm]\xi=A*cos(\omega*t-k*z)[/mm]
ich bin mir nicht ganz sicher, ob dieser Ansatz möglich ist.
Habe mir gedacht, dass dies ja nur die Allgemeine Form der stehenden Welle [mm]\xi=A*sin(\omega*t-k*z)[/mm] ist.
betrachte ich nun [mm]\xi=A*cos(\omega*t-k*z)[/mm], leite einmal ab, stelle die Gleichung für meine kinetische Energie auf:
[mm]E_kin=\bruch{m*\xi'^2}{2}[/mm] --> [mm]dE_kin=\bruch{dm*\xi'^2}{2}[/mm]
wobei [mm]dm=\rho*q*dz[/mm] ist.
weiters weiß ich dass [mm]\omega=\bruch{2\pi}{T} ,
k=\bruch{2\pi}{\lambda} ,
\lambda=2L ,
---> k=\bruch{\pi}{L}[/mm]
noch dazu habe ich mir überlegt, dass die Potentielle Enegie zum Zeitpunkt [mm]t=\bruch{T}{4}[/mm] Null ist. Auf die Geschwindigkeit bezogen gilt natürlich dass zu dieser zeit t die pot. Energie am größten ist.
integriere ich nun [mm]dE_{kin}[/mm] von 0 bis L (und nach Anwendung von 2 Additionstheoremen) komme ich auf mein gewünschtes Ergebnis von
[mm]E_{kin}=\bruch{m*A^2*\omega^2}{2}[/mm]
Offensichtlich funktioniert diese Variante.
Meine eigentliche Frage ist nun:
Ist es zulässig, das Beispiel druch [mm]\xi=A*cos(\omega*t-k*z)[/mm] an zu setzten ?
Vielen Dank für jede Antwort :)
Liebe Grüße eure Meely
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Hallo,
> Energieerhalt einer beidseitig eingespannten Saite:
> Berechnen Sie die Energie, welche in einer beidseitig
> eingespannten Saite gespeichert ist.
>
> Hallo liebes Forum :)
>
> Habe dieses Bsp. als Aufgabe bekommen und habe 2 mögliche
> Ansätze entdeckt.
>
> Der Ansatz, welchen ich hier gerne besprechen würde ist:
>
>
> [mm]\xi=A*cos(\omega*t-k*z)[/mm]
>
>
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob dieser Ansatz möglich
> ist.
> Habe mir gedacht, dass dies ja nur die Allgemeine Form der
> stehenden Welle [mm]\xi=A*sin(\omega*t-k*z)[/mm] ist.
>
>
> betrachte ich nun [mm]\xi=A*cos(\omega*t-k*z)[/mm], leite einmal ab,
> stelle die Gleichung für meine kinetische Energie auf:
>
> [mm]E_kin=\bruch{m*\xi'^2}{2}[/mm] --> [mm]dE_kin=\bruch{dm*\xi'^2}{2}[/mm]
>
> wobei [mm]dm=\rho*q*dz[/mm] ist.
>
> weiters weiß ich dass [mm]\omega=\bruch{2\pi}{T} ,
k=\bruch{2\pi}{\lambda} ,
\lambda=2L ,
---> k=\bruch{\pi}{L}[/mm]
>
> noch dazu habe ich mir überlegt, dass die Potentielle
> Enegie zum Zeitpunkt [mm]t=\bruch{T}{4}[/mm] Null ist. Auf die
> Geschwindigkeit bezogen gilt natürlich dass zu dieser zeit
> t die pot. Energie am größten ist.
>
> integriere ich nun [mm]dE_{kin}[/mm] von 0 bis L (und nach
> Anwendung von 2 Additionstheoremen) komme ich auf mein
> gewünschtes Ergebnis von
>
> [mm]E_{kin}=\bruch{m*A^2*\omega^2}{2}[/mm]
>
>
> Offensichtlich funktioniert diese Variante.
>
> Meine eigentliche Frage ist nun:
>
> Ist es zulässig, das Beispiel druch
> [mm]\xi=A*cos(\omega*t-k*z)[/mm] an zu setzten ?
>
>
Bin mir nicht sicher ob der Ansatz möglich ist, das Ergebnis ist jedoch richtig ;) (habe es allerdings nicht nachgerechnet)
Hätte das ganze mit der Stehenden Welle angesetzt:
[mm] \xi=A*sin(\omega*t-k*z)
[/mm]
[mm] \xi'=\omega*A*cos(\omega*t-k*z)
[/mm]
bei [mm] t=\frac{n\pi}{\omega} [/mm] ist die potentielle Energie 0 .. also bei jeder vollen Schwingung
der Rest funktioniert analog zu deiner beschriebenen Vorgangsweise.
> Vielen Dank für jede Antwort :)
>
> Liebe Grüße eure Meely
>
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 15.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Text und Formel passen nicht zusammen.
> Habe mir gedacht, dass dies ja nur die Allgemeine Form der stehenden Welle
> $ [mm] \xi=A\cdot{}sin(\omega\cdot{}t-k\cdot{}z) [/mm] $ ist.
Das ist nicht die Gleichung einer stehenden Welle, sondern die Gleichung einer "laufenden" Welle. Durch die Randbedingungen (eingespannt) erfolgt die Einschränkung
[mm] $\lambda [/mm] = 2L$ wobei das ja nur eine der möglichen Schwingungsmoden ist. Allerdings steht im Aufgabentext sowieso nichts vom Schwingen. Das musst Du wissen, ob das so gemeint ist.
Wenn Du nun die Welle und die reflektierte Welle überlagerst, dann erhälst Du die Gleichung für die stehende Welle.
Das ist aber letzlich egal, entscheidend ist die Integration von 0 bis L.
Falls Du die in einer schwingenden Saite gespeicherte Energie berechnen sollst, dann musst Du in die Berechnung noch einen Parameter einführen. Ich schlage die Anzahl der Schwingungsknoten vor.
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