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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 15.01.2008 | | Autor: | HaPe |
| Aufgabe | Schwingungsdifferentialgleichungen
Die Differentialgleichung (Bewegungsgleichung) des ungedämpften harmonischen Oszillators (z.B. Masse-Feder-Pendel) lautet:
[mm] m \ddot x = - Dx[/mm] bzw. [mm] m \ddot x + Dx = 0[/mm]
a) Leiten Sie diese Beziehung her i) über Kräftebetrachtung und ii) über Energiebetrachtung. (Hinweis zur Energiebetrachtung: Stellen Sie den Term für die Gesamtenergie auf und differenzieren diesen nach der Zeit. Da die Gesamtenergie zeitlich konstant ist, muss die Ableitung gleich Null sein. Damit erhalten Sie die Bewegungsgleichung.)
b) Wie lautet die entsprechende Bewegungsgleichung für eine Drehschwingung (z.B. Zylinder an einem Stahldraht)? Wie bestimmt man die Rückstellkonstante der Drehschwingung?
c) Ein dünner, homogener Stab (Besenstiel) wird am Ende drehbar aufgehängt. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für große und kleine Auslenkungen. Welche Frequenz hat die Schwingung bei kleinen Auslenkungen? |
Hallo miteinander
diese Aufgabe hier soll ich morgen Nachmittag in der Übungsgruppe an der Tafel vorrechnen. Hier meine Ansätze...
a)
i) Kräftebetrachtung:
mit [mm] D = \frac {F}{x}[/mm] und [mm] F = m \ddot x[/mm] folgt: [mm] m \ddot x = \frac {m\ddot x}{x} x [/mm]
So eine wirkliche Herleitung is das nich...Wie setze ich da am besten an?
ii) Energiebetrachtung:
[mm] E_{ges} = E_{kin} + E_{pot} = const [/mm]
[mm] \frac {dE_{ges}}{dt} = 0 \Rightarrow \frac {dE_{kin}}{dt} + \frac {dE_{pot}}{dt} = 0[/mm]
[mm] \frac {dE_{ges}}{dt} = - \frac {dE_{pot}}{dt} [/mm]
[mm] mv\dot v = -Dx\dot x [/mm]
[mm] m\dot x \ddot x = -Dx\dot x [/mm]
[mm] m\ddot x = -Dx [/mm]
Diese Herleitung sollte in Ordnung sein
b)
Analog zu a) werden die Variablen der Translationsbewegung in die Variablen der Rotationsbewegung umgewandelt:
Strecke [mm] x \longleftrightarrow [/mm] Auslenkwinkel [mm] \phi [/mm]
Masse [mm] m \longleftrightarrow [/mm] Trägheitsmoment [mm]I[/mm]
Rückstellkonstante der Translation [mm] D_{T} \longleftrightarrow [/mm] Rückstellkonstante der Rotation [mm] D_{R} [/mm]
Kraft [mm] F \longleftrightarrow [/mm] rückstellendes Drehmoment [mm]M[/mm]
- aus [mm]F = -Dx[/mm] wird [mm] M = -D_{R} \phi ; D_{R} = \frac {M}{\phi}[/mm]
- aus [mm] F = m \ddot x [/mm] wird [mm] M = I \ddot \phi [/mm]
Damit ergibt sich die Differentialgleichung der Drehschwingung: [mm] M = I \ddot {\phi} =-D_{R} \phi [/mm] oder [mm] I \ddot {\phi} + D_{R} \phi = 0 [/mm]
Das sollte doch auch soweit in Ordnung sein, oder?
c)
An der hab ich grad zu knabbern...
Was ich bis jetzt für Ansätze hab:
- Stab hängt runter und dreht sich um eine Achse genau durch den Mittelpunkt des Kreisquerschnitts entlang des gesamten Besenstiels
- Bewegungsgleichung bei kleinen Auslenkungen gleicht einer harmonischen Schwingung, sprich obiger Gleichung [mm] m \ddot x + Dx = 0[/mm]
- Bewegungsgleichung bei großen Auslenkungen entspricht einer gedämpften Schwingung, sprich [mm] m \ddot x + \beta \dot x + Dx = 0[/mm]
Bloß wie ich jetzt nicht, wie ich daraus die Frequenz bestimmen soll.
Wär echt toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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Hallo!
a)
Es gilt doch für Federn $F=-Dx$ und generell [mm] $F=ma=m\ddot{x}$ [/mm] . Die beiden Kräfte sind gleich, und damit hast du die Herleitung schon.
b) sieht gut aus
c)
Du kannst hier teilweise deine Formeln aus b) benutzen, also das ganze als Rotationsproblem sehen.
Das Trägheitsmoment für so nen um die Spitze rotierenden Stab müßte [mm] 1/3mr^2 [/mm] sein.
Aber wie groß ist die rückstellende Kraft? Bedenke, daß die Schwerkraft auf den Mittelpunkt des Stabes wirkt, und du den Anteil senkrecht zum Stab brauchst. Das sollte dir ein SIN im Ausdruck bescheren. Und dann kannst du überlegen, wie du das für kleine Winkel approximierst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 15.01.2008 | | Autor: | HaPe |
also jetzt bin ich bei der c) so weit:
Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen wie bei einer harmonischen Schwingung: [mm] \varphi= A \sin ( \omega t ) [/mm]
mit [mm] \omega = \wurzel \frac {D_{R}}{I} [/mm] aus [mm] D_{R} = m {\omega}^2 [/mm] ergibt dies:
[mm] \varphi (t) = A \sin (\wurzel \frac {D_{R}}{I} t ) [/mm] für [mm] \varphi (0) = 0 [/mm]
Die Frequenz bekommt man aus dem Kehrwert von: [mm] T = 2 \pi \wurzel \frac {I}{D_{R}} [/mm]
Bitte um Korrektur :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du da aufschreibst ist doch eigentlich nur die Lösung für b)
Was hast du für den Besenstiel, Länge l, Masse l denn raus?
so wies da steht ist das keine Lösung zu c)
bei B fehlt, was Dr eigentlich ist! danach war doch gefragt?
Gruss leduart
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