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Guten Abend,
Ich wollte mal fragen, ob es eine allgemeine Gleichung gibt, womit man die Seitenhalbierenden und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks berechnen kann??
Ich freue mich über Hilfe,
viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Teufel |
Ich habe mich mal rangesetzt eine Gleichung für die Mittelsenkrechte zu finden, wenn du die 2 Punkte gegeben hast. Aber glaube mir, das lohnt sich echt nicht, weil die allgemeine Formel dafür viel zu lang wär.
Sie sieht ungefähr so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wobei die 2 Punkte [mm] A(x_{A}|y_{A}) [/mm] und [mm] B(x_{B}|y_{B}) [/mm] gegeben und [mm] a=x_{B}, b=x_{A}, c=y_{B} [/mm] und [mm] d=y_{A} [/mm] sind. Das bringt zwar im Moment noch mehr Verwirrung rein, aber naja... Ich glaube nicht, dass man da noch viel vereinfachen kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Informacao |
Also ich habe ein Dreieck mit den Punkten A(-2|-1), B(6|-3), C(-2|5).
Ja und dazu würde ich gerne die seitenhalbierenden und die mittelsenkrechten errechnen....
viele grüße,
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 So 20.08.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja du musst:
-wissen wo die Mittelpunkt der relevanten Strecken sind
-wissen wie man den Anstieg von orthogonalen berechnet
Wobei hast du Probleme?
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hi!
danke für die formel...
ich habe probleme mit der mittelsenkrechten und den seitenhalbierenden, wie eben schon gesagt.
und ich verstehe das nicht ganz...
also die formel der mittelsenkrechten hab ich ja jetzt schon...aber weiter weiß ich auch nicht...
viele grüße
informacao
ne, also mit deiner formel kann ich nichts anfangen... :-(
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Hallo,
ich formuliere mal Teufels (richtige!) Berechnungsvorschrift etwas allgemeiner und in zwei schritten:
Gegeben sind zwei Punkte P und Q mit den Koordinaten [mm] (x_P,y_P) [/mm] bzw [mm] (x_Q, y_Q). [/mm] In deinem Fall heißen die Punktepaare jeweils A,B , B,C oder A,C - einfach nur passend ersetzen!
Wir berechnen zuerst den Mittelpunkt M zwischen P und Q (hier geht die Mittelsenkrechte durch):
[mm]x_M = \bruch{x_P + x_Q}{2}[/mm]
[mm]y_M = \bruch{y_P + y_Q}{2}[/mm]
Das war der erste Schritt.
Im zweiten Schritt basteln wir eine Gerade, die senkrecht zur Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] verläuft und durch M geht:
[mm]y = \bruch{x_P - x_Q}{y_Q - y_P}*(x - x_M) + y_M[/mm]
Diese Formel musst du bei einem Dreieck dreimal benutzen:
1. Ersetze P und Q durch A und B, berechne den Mittelpunkt und die Geradengleichung.
2. Ersetze P und Q durch B und C, berechne den Mittelpunkt und die Geradengleichung.
3. Ersetze P und Q durch A und C, berechne den Mittelpunkt und die Geradengleichung.
Die Formel (auch bei Teufel) hat den Schönheitsfehler, dass sie nicht funktioniert, wenn zwei Punkte dieselbe y-Koordinate haben. Mit Vektoren ließe sich das beheben, aber wir wollen das mal so versuchen...
Gruß
Martin
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hey,
die ersten beiden gleichungen habe ich verstanden...
aber ich versteh das letzte nicht..." Im zweiten Schritt basteln wir eine Gerade, die senkrecht zur Strecke verläuft und durch M geht:"
ich verstehe das nicht
Also, das ist die Aufgabe:
A(-2|-1), B(6|-3) und C(-2|5) sind Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme für das Dreick Gleichungen:
a) der Seitenhalbiereden
b) der Mittelsenkrechten.
Zeige, dass sich die 3 Geraden jeweils in einem Punkt schneiden.
Ich sitze seit 4 Tagen an dieser Aufgabe und ich brauche die morgen...aber ich verstehe es einfach nicht!!!
Ich bitte um hilfe und würd mich sehr darüber freuen!
viele grüße,
informacao
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Das "Basteln" der Geraden bedeutet, dass wir alle Parameter bestimmen, die eine Gerade ausmachen.
Nochmal von vorne zum Thema Mittelsenkrechte:
Ein Dreieck wird bestimmt durch drei Punkte, von denen jeweils zwei eine Strecke einschließen. Zu jeder dieser drei Strecken wollen wir jeweils eine Gerade bestimmen, die durch die Mitte dieser Strecke verläuft und darauf senkrecht steht.
Um mich nicht auf eine bestimmte Dreiecksseite festzulegen, habe ich die Punkte statt A, B und C einfach mal P und Q genannt. Diese Punkte stehen in deiner Berechnung für zwei der Dreieckspunkte, da man für die Berechnung einer Mittelsenkrechten jeweils eine Seite (also ein Punktepaar betrachtet).
Bevor ich die Mittelsenkrechte zu der Strecke (bzw. Dreiecksseite) [mm] \overline{PQ} [/mm] bestimme, versuche ist die Parameter dieser Strecke zu bestimmen. Da eine Strecke mathematisch aufwändiger zu behandeln ist als eine Gerade, berechnen wir statt der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] die Gerade durch P und Q.
Was macht eine Gerade aus? 1. Ein Punkt, durch den diese Gerade geht und 2. die Steigung dieser Geraden.
1. Wir kennen bereits zwei Punkte, durch die die Gerade geht: P und Q. Wir könnten also 1. abhaken. Da wir aber nachher eine Mittelsenkrechte suchen, können wir jetzt schon mal sehen, ob wir nicht einen dritten Punkt finden, der auf unserer Geraden durch P und Q liegt:
Wenn eine Gerade durch P und Q geht, dann geht sie sicherlich auch durch den Punkt, der genau in der Mitte zwischen P und Q liegt. Diesen Mittelpunkt nennen wir mal M. Die Koordinaten sind leicht durch das arithmetische Mittel zu bestimmen:
[mm]x_M = \bruch{x_P + x_Q}{2}[/mm]
[mm]y_M = \bruch{y_P + y_Q}{2}[/mm]
Jetzt können wir 1. abhaken.
2. Wie bestimmt man die Steigung [mm] m_{PQ} [/mm] einer Geraden durch die Punkte P und Q? Die Formelsammlung (oder man selbst) weiß es:
[mm]m_{PQ} = \bruch{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}[/mm]
Das ist die Formel und daran gibt es nichts zu rütteln.
Also haben wir bisher die Gleichung für die Gerade durch P und Q bestimmt, die Gerade, die stellvertretend ist für unsere Dreiecksseite PQ.
Nun wollen wir die Mittelsenkrechte [mm] s_{PQ} [/mm] zu PQ bestimmen. Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, also brauchen wir auch hier 1. einen Punkt auf dieser Geraden und 2. ihre Steigung.
1. Einen Punkt auf der Mittelsenkrechten haben wir bereits: M ist der Mittelpunkt der Seite PQ, also genau der richtige Punkt (s. Definition der Mittelsenkrechten).
2. Nun brauchen wir nur noch die Steigung [mm] m_s [/mm] der Mittelsenkrechten [mm] s_{PQ}. [/mm] Dazu muss man folgende Beziehung kennen:
Die Steigung [mm] m_s, [/mm] die senkrecht zur Steigung m ist, erhält man durch:
[mm]m_s = -\bruch{1}{m}[/mm]
Auch nur eine Formel, die man kennen sollte.
Nun kommen wir zu der Gesamtgleichung der Mittelsenkrechten s. Dazu nutzen wir unseren Punkt M, die Steigung [mm] m_s [/mm] und die Punktsteigungsform [mm] (\to [/mm] Formelsammlung) einer Geraden, die so aussieht:
[mm]y - y_M = m_s*(x - x_M)[/mm]
Umgeformt erhalten wir für die Mittelsenkrechte [mm] m_s:
[/mm]
[mm]y = m_s*(x-x_M) + y_M[/mm]
Das Ganze geht viel schneller als das Lesen dieses Textes, wenn man erst einmal damit vertraut ist. Aber dazu muss man sich etwas mit dieser Art von Geometrie beschäftigen.
Auf diese Weise bestimmst du die drei Mittelsenkrechten:
1. Zuerst M für P=A und Q=B errechnen. Dann die Gleichung der Mittelsenkrechten bestimmen.
2. Dann M für P=B und Q=C errechnen. Dann die Gleichung dieser Mittelsenkrechten bestimmen.
3. Schließlich M für P=A und Q=C errechnen. Dann die Gleichung dieser Mittelsenkrechten bestimmen.
Dann bestimmst du den Schnittpunkt der ersten beiden Mittelsenkrechten und vergleichst ihn mit dem Schnittpunkt der zweiten und der dritten Mittelsenkrechten. Wenn diese Schnittpunkte übereinstimmen, dann weißt du, dass sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden.
Lies dir das mal in Ruhe und versuche bitte, deine Schwierigkeiten deutlicher zu formulieren, sonst läuft es eben auf so lange Erklärungen hinaus...
Gruß
Martin
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Jetzt zur Seitenhalbierenden:
Die zu halbierende Seite habe die Endpunkte P und Q und die gegenüberliegende Ecke liege im Punkt R.
Wir berechnen wieder den Mittelpunkt M der Strecke [mm] \overline{PQ}:
[/mm]
[mm]x_M = \bruch{x_P + x_Q}{2}[/mm]
[mm]y_M = \bruch{y_P + y_Q}{2}[/mm]
Nun können wir eine Gerade in der Zweipunkteform (s. Formelsammlung!) erzeugen:
[mm]y = \bruch{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}*(x-x_M) + y_M[/mm]
Diese Gerade ist die Seitenhalbierende der Seite PQ.
Nun musst du auch diese Berechnung dreimal durchführen indem du jeweils P,Q,R durch
1. A,B,C
2. B,C,A
3. C,A,B
ersetzt.
Gruß
Martin
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