Sekantensatz < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Behauptung:
Zieht man von einem Punkt P außerhalb des Kreises aus Sekanten, so sind die Produkte der Sekantenabschnitte von P bis zum Kreis bei allen Sekanten gleich.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Die obige Behauptung habe ich in einem Mathebuch gefunden (im Zusammenhang mit Strahlensätzen)
Als Begründung wurde lediglich gesagt, dass die Dreiecke ADP und BCP ähnlich seien (= die gleichen Winkel haben).
Unter der Voraussetzung dieser Ähnlichkeit, ergibt sich
[mm] \bruch{\overline{PB}}{\overline{PC}} [/mm] = [mm] \bruch{\overline{PD}}{\overline{PA}}
[/mm]
und somit [mm] \overline{PB}*\overline{PA} [/mm] = [mm] \overline{PD}*\overline{PC}
[/mm]
Nur kann ich diese "Voraussetzung" nicht ganz nachvollziehen:
Dass der Winkel Alpha in beiden Dreiecken identisch ist, das ist logisch.
Aber und das ist meine Kardinalfrage - :
Warum sind die beiden Winkel Beta identisch ???
Woraus ergibt sich das?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 16.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Über das Dreieck APD kannst du den blauen Winkel bestimmen, dann über diesen den violetten Grün+Violett=180°, und darüber dann den grünen (Dreieck CD"Gelber Schnittpunkt")
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft dir das erstmal weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Fr 16.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Hilft dir das erstmal weiter?
Ja, ich weiß, wie du das meinst: Man muss Schritt für Schritt alle Winkel bestimmen. Diese ergeben sich daraus, dass die Winkelsumme bei einem Dreieck 180 Grad ist, und wenn eine Gerade geschnitten wird, dann ist die Summe der Winkel ebenfalls 180 Grad, und bei einer Kreuzung (gelbe Linien) sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
So kommt man dann Schritt für Schritt dahin, dass das eine Beta genau so groß ist wie das andere Beta, und so kommt man dann schrittweise zu dem Sekantensatz.
Könnten Schüler einer 9. Klasse so etwas nachvollziehen? (bzw.: Sollten Schüler einer 9. Klasse so etwas nachvollziehen können?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Einer der ersten Sätze, die man am Kreis beweist ist der "SehnenWinkelsatz"
d,h, alle Winkel über derselben Sehne (zur selben Seite des Bogens) sind gleich (und halb so gross wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.)
2 der Winkel in den 2 Dreiecken liegen jeweils über einer Sehne.
Falls die Schüler den Satz hatten, ist der sekantensatz leicht.
Zur Vertiefung, es gibt nen entsprechenden Satz über das Produkt von Sehnen abschnitten im Kreis.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
"Beweise" sind die eine Seite der Medaille. Da wird quasi das Rad zum millionensten Mal neu erfunden (was ein Mal "bewiesen" wurde, kann ja später nie mehr widerlegt werden).
Die andere Seite der Medaille sind dann wiederum konkrete Aufgaben.
Tja, und da ist dann immer die Frage: Was könnte da in einer Arbeit dran kommen? Und wie kann man das üben? - Da gibt es ja unzählige Möglichkeiten.
Wenn man aber schon vorher etwas weiß - z.B. Sehnen-Winkel-Satz -, dann ist man natürlich im Vorteil gegenüber jemandem, der bei NULL anfängt, und sich diesen dann erst mal erarbeiten - sprich "beweisen" - muss.
Aber ich denke mal, wenn man eine Formelsammlung benutzen darf, dann gilt das alles dort Gedruckte als "bereits bewiesen".
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