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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
| Aufgabe | m=1/5
m=y2-y1/x2-x1 = 8,25-2,25/5-1=1,5
P1(1/2,25); P2(1+h/ f(1+h)) ; h>0
f(x)= 0,25x²+2
f(1+h)=0,25(1+h)²+2 = 0,25(1+2h+h²)+2
0,25+0,5h+0,25h²+2
y2=2,25+0,5h+0,25h²
m=y2-y1/y2-x1 = 2,25+0,5+0,25h²-2,25/ 1+h-1
m=0,5h+0,25h²/h
m= h(0,5+0,25)/h*1
=0,5+0,25h
lim(0,5+0,25h)
h-> 0
Ableitung der Dunktion f(x) an der Stelle x=1
f(1)= 0,5
Die Tangente an die Funktion m f(x) an der Stelle x=1 geht durch den Punkt P(1/f(1)) und hat die Steigung f(1) |
Hallo erstmal an alle,
Diese Aufgabe hat unsere Lehrer an die Tafel geschrieben und leider habe ich kein Wort davon verstanden. Ich habe mich schon ein wenig im Internet umgeschaut aber habe nicht wirklich das gefunden, was mir hilft.
Klipp und klar: Ich weiß nicht, was genau ich mit dem h machen soll und wie der Lehrer auf die ganzen Zahlen gekommen ist.
Also wenn ich mir die Aufgabe ansehe und geregelt von oben nach unten gehe, dann frage ich mich zuerst, warum der Lehrer durch 5-1 teilt und nicht 1-5.
Wenn ich weiter gehe und mir dann anschaue, wie der Lehrer bei der Zusammenfassung von: f(1+h)= 0,24(1+h)²+2 auf 0,25(1+2h+h²)+2 gekommen ist. Das sind doch dann mehr h als man vorher hatte oder sehe ich das falsch.
Den Rest verstehe ich dann durch den Anfang nicht und somit zerbreche ich mir den Kopf über mögliche Lösungswege. Ich blicke einfach nicht durch.
Ich hoffe mir kann irgendjemand helfen ... meine Klausur ist nämlich daneben gegangen und es wäre schlecht, wenn das dann auch in der Abiprüfung in der 13 kommen würde und ich es bis dahin nicht verstanden habe.
LG
ViviB
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo ViviB
Erstmal: Es wäre besser gewesen, den Editor hier zu benutzen. Aber ist schon ok. Ich weiß, wie schwer das ist, wenn man den noch garnicht kennt ;)
So, aber nun zur Aufgabe:
Wenn ich das richtig sehe, dann ist die Funktion f(x) = [mm] 0,25x^{2} [/mm] + 2
Und für 1+h gilt:
f(1+h) = 0,25 [mm] (1+h)^{2} [/mm] + 2 // Hier ist also x durch 1+h ersetzt
Nun wende die binomische Formel an. Diese lautet:
[mm] (1+h)^{2} [/mm] = 1 + 2h + [mm] h^{2}
[/mm]
Also steht nun da:
f(1+h) = 0,25 (1 + 2h + [mm] h^{2}) [/mm] + 2
Jetzt ausmultiplizieren:
f(1+h) = 0,25 + 0,5h + [mm] 0,25h^{2} [/mm] + 2
Zusammengefasst:
f(1+h) = 2,25 + 0,5h + [mm] 0,25h^{2} [/mm]
Die Regel für die Steigung an einem Punkt ist IMMER:
[mm] \bruch{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}
[/mm]
Bis hierhin schonmal klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
Ja, das stimmt ... ich muss mich am besten erst einmal etwas zurecht finden. Aber ich denke, dass das nicht allzu lange brauchen wird. Ich werde mir Mühe geben =)
Also bis jetzt ist alles klar. Nun weiß ich auch, dass die Binomische Formel angewendet wurde. Wenn man sich so konzentriert, dann fallem einem oft die Dinge nicht ein, die am logischsten sind...
Bis zu diesem Punkt wäre das also geklärt. Danke schonmal für die schnelle und aufklärende Antwort :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Klar. Man muss sich an das Forum hier wirklich gewöhnen. Aber das machst du automatisch ;)
Ich bin froh, dass du bisher alles verstanden hast. Nun gehts weiter.
Du hast deine umgeformte Funktion:
f(1+h) = 2,25 + 0,5 h + [mm] 0,25h^{2}
[/mm]
Und du kennst die Regel
m = [mm] \bruch{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}
[/mm]
Das m steht hier für die Steigung einer Geraden am Punkt 1+h.
Um diese Regel ausnutzen zu können, brauchst du zwei Punkte.
Hier sind diese gegeben:
[mm] P_{1}(1|2,25) [/mm] und [mm] P_{2}(1+h|f(1+h))
[/mm]
So, das [mm] x_{1} [/mm] ist also 1
Das [mm] y_{1} [/mm] ist 2,25
Das [mm] x_{2} [/mm] ist 1+h
Das [mm] y_{2} [/mm] ist f(1+h)
Das kannst du einfach an den Punkten ablesen. So, [mm] y_{2} [/mm] ist ja f(1+h). Das ist ja viel zu allgemein, wie du siehst. Aber man hat gerade eben deshalb auch die Funktion für 1+h umgeschrieben in
f(1+h) = 2,25 + 0,5 h + [mm] 0,25h^{2}
[/mm]
Dann ist [mm] y_{2} [/mm] einfach 2,25 + 0,5 h + [mm] 0,25h^{2}
[/mm]
Ist halt nur was allgemeiner gefasst.
Jetzt hast du alles und kannst in die Regel einsetzen:
[mm] \bruch{2,25 + 0,5 h + 0,25h^{2} - 2,25}{1+h-1}
[/mm]
Nenner vereinfacht:
[mm] \bruch{2,25 + 0,5 h + 0,25h^{2} - 2,25}{h}
[/mm]
Zähler vereinfacht:
[mm] \bruch{0,5 h + 0,25h^{2}}{h}
[/mm]
So, jetzt (da du keine "normale" Zahl, sog. Skalar, mehr drin hast), kannst du ausklammern:
[mm] \bruch{h \* (0,5 + 0,25h)}{h}
[/mm]
Und nun kannst du das h kürzen (ist ja bei Multiplikation erlaubt)
Dann steht da: 0,5 + 0,25h
Bis jetzt wieder alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
Okay, das ist ja dann auch alles einleuchtend ...
und bei
$ [mm] \bruch{2,25 + 0,5 h + 0,25h^{2} - 2,25}{1+h-1} [/mm] $
muss man dann die -1 einfach hinzufügen, damit man auf h alleine kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Siehst du. Schon kannst du das mit dem Editor ;) Klasse.
Schau dir den Nenner an: Das steht 1+h-1, das fällt automatisch weg und h bleibt übrig. Aber gut, dass du fragst.
Ich werde jetzt noch eine Antwort schreiben (also wies weitergeht).
EDIT: Schreib bitte lieber Fragen statt Mitteilungen. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
So, nun die Ableitung. Betracht dazu nochmal f(1+h), also den allgemeinen Ausdruck.
Wenn h jetzt gegen 0 geht, dann geht f(1+h) gegen f(1).
So, jetzt war f(1+h) = 0,5 + 0,25h
Dieser Ausdruck geht für h [mm] \to [/mm] 0 gegen 0,5 (anschaulich kannst du einfach h gleich 0 setzen, mathematisch ist das aber nicht korrekt, also auf keinen fall schreiben, dass h=0 ist. Es geht lediglich gegen 0)
Also gilt insgesamt: f '(1) = 0,5 (den Strich einfach hinmachen, dieser zeigt dir, dass es hierbei nicht um einen Wert der Funktion, sondern nur um die Steigung m geht)
Die Steigung an der Stelle 1 ist also 0,5
Und die Tangentengleichung kennst du:
y=mx+b
Also: y = 0,5x +b
Setze da den Punkt für f(1) ein. Warum diesen? Ganz einfach: Deswegen auch eben der Strich. Du hast ja die Steigung an der Stelle 1 ausgerechnet, deshalb musst du auch den passenden Punkt verwenden, also den Punkt an der Stelle 1 und der war hier (1|2,25)
Naja, mehr hat der Lehrer auch nicht gemacht, wenn ich das jetzt richtig sehe. Hast du denn noch Fragen?
Du könntest natürlich auch noch x=1 und y=2,25 einsetzen und das b ausrechnen ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
| Aufgabe | 1)
f(x)=-4x²+12
gesucht ist f(-2) |
So schwer ist das jetzt eigentlich gar nicht mehr.
Ich habe hier noch eine Übungsaufgabe, mit der ich das ja mal ausprobieren kann...
Dann müsste ich also dieses Mal für x: -2+h einsetzen oder ?
Vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, das alles nochmal in seine Einzelteie zu zerlegen :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 16.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo ViviB!
> Dann müsste ich also dieses Mal für x: -2+h einsetzen
> oder ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Klar, hab ich doch gern gemacht. Und wenn du weitere Fragen hast, dann schreib einfach ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
| Aufgabe | f(x)=-4x²+12
gesucht ist f(-2)
f(-2+h)= -4(-2+h)²+12 = -4(4+2h+h²) +12
-16-8h-4h²
y2= -4-8h-4h²
[mm] \bruch{-4-8h-4h²+4}{2+h-2} [/mm]
[mm] \bruch{-8h-4h²}{h} [/mm] |
gut, hat war ein wenig gedauert, aber ich bin zum Eregebnis gekommen, dass bei der Übungsaufgabe m=-8-4h ist.
lim (-8-4h)
f´(-2)=-8
kann das sein ? mal so grob geschätzt oder irgendwie überschlagen.... :D
Danke =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Jain xD
Deine Lösung stimmt.
Aber schau genau, was gesucht ist. f '(-2) oder einfach nur f(-2)
Ich tippe auf ersteres und DANN wäre deine Lösung absolut korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
Achso ... dann habe ich wohl das ´ beim gesucht vergessen ^^
und f´(-2)=-8 wäre dann richtig richtig.
Aber wo genau ist dann der Unterschied ? Ist f(-2)=-8 dann komplett falsch ?
=D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja, f'(-2) = -8 müsste richtig sein.
Der Strich zeigt dir an, dass es sich dabei um die STEIGUNG an der Stelle x=-2 und NICHT um den Punkt. Stell dir mal eine Gerade vor. Die hat bei -2 zwar ein passende y-Koordinate, z.B. 5, aber das ist ja nicht die Steigung der Geraden.
Ihr werdet das jetzt aber auch noch machen, denk ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 So 16.01.2011 | | Autor: | ViviB |
Okay, dann bedanke ich mich nochmal ganz herzlich =)
Jetzt ist es mir klar :D
LG
VIviB
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Gern geschehn ;)
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