Selbstadjungierte Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin,
Ich habe eine Frage dazu wie man zeigen kann, ob eine lineare Abbildung selbstadjungiert ist, falls nur die Abbildungsmatrix und die Grammatrix des Euklidischen Vektorraums "zur Verfügung" stehen?
Falls jetzt M die Abbildungsmatrix ist und G die Grammatrix, habe ich mir gedacht, dass das Resultat aus [mm] M^{tr}\* [/mm] G [mm] \* [/mm] M eine symetrische Matrix sein muss.. Stimmt das?
Vielen Dank fuer Antworten im voraus...
Gruesse,
-stone.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:16 Di 15.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo stone!
Kannst du mal bitte etwas deutlicher schreiben, bezüglich welcher Basen die Abbildungsmatrix und die Gram-Matrix gegeben sind?
Viele Grüße
Stefan
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Sorry, war doch wohl ein bisschen zu unpräzise.. Die Abbildungsmatrix und auch die Grammatrix beziehen sich beide auf eine einzige, beliebige Basis B wobei diese nicht unbedingt eine Orthonormalbasis ist. Besser: es handelt sich nicht um eine Orthonormalbasis da sonst die Aufgabe sehr einfach waere und die Abbildungsmatrix symmetrisch waere.
Um konkreter zu werden, das ist die Abbildung und die Grammatrix mit der ich beweisen muss dass die Abbildung ( f ) selbstadjungiert ist:
M(f) = [mm] \pmat{ 7 & 3 & 6 \\ -1 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 2 } [/mm] sowie die Grammatrix
G = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Alle Matrizen beziehen sich auf die gleiche Basis B, die aber wie man unschwer erkennen kann weder orthogonal noch -normal ist.. M^tr * G * M liefert eine symmetrische Matrix, deswegen frage ich mich, ob dies als Bedigung fuer eine selbsadjungierte Abbildung ausreicht....
Danke jedenfalls.
-stone.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Sa 26.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo,
es ist vermutlich zu spaet, aber ich antworte trotzdem mal.
> Ich habe eine Frage dazu wie man zeigen kann, ob eine
> lineare Abbildung selbstadjungiert ist, falls nur die
> Abbildungsmatrix und die Grammatrix des Euklidischen
> Vektorraums "zur Verfügung" stehen?
>
> Falls jetzt M die Abbildungsmatrix ist und G die
> Grammatrix, habe ich mir gedacht, dass das Resultat aus
> [mm]M^{tr}\*[/mm] G [mm]\*[/mm] M eine symetrische Matrix sein muss.. Stimmt
> das?
Kannst Du ein Beispiel finden, wo das Resultat nicht symmetrisch
waere, wenn G symmetrisch ist? :)
Du musst die adjungierte lineare Abbildung bestimmen und dann
die Bedingung fuer selbstadjungierte Endomorphismen pruefen.
Im Einzelnen:
Sei m die von M induzierte lineare Abbildung und [mm] \Phi [/mm] das
Skalarprodukt bzw. die Grammatrix (alles zur Basis B).
[mm]m^{ad} = \Phi^{-1}*m^{tr}*\Phi[/mm]
Wenn nun gilt:
[mm]m^{ad} = m[/mm]
dann ist m selbstadjungiert.
Gruss,
Monika
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