Selbstähnliche Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Gesucht sind alle Matrizen die nur zu sich selbst ähnlich sind.
Meine Idee ist, dass es alle Diagonalmatrizen sind, weil die auf der Diagonalen nur die Eigenwerte stehen haben. Die Frage ist, ob das nun die einzigen sind, und wie man das explizit beweisen kann?
Triviales Beispiel: Die Einheitsmatrix ist nur zu sich seöbst ähnlich.
Gruß Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Di 09.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Du suchst also diejenigen reellen $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen $A$, für die
$A = [mm] CAC^{-1}$
[/mm]
für alle invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen $C$ gilt, also diejenigen $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen $A$, für die
$AC=CA$
für alle invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen $C$ gilt.
Dies sind genau die Matrizen
[mm] $A=\lambda \cdot E_n$
[/mm]
mit einem [mm] $\lambda \in \IR$.
[/mm]
Der Beweis geht genauso wie derjenige von
[mm] ${\cal Z}(GL_n(\IR)) [/mm] = [mm] \{\lambda \cdot E_n\, : \, \lambda \in \IR \setminus\{0\}\}$, [/mm]
wobei [mm] ${\cal Z}(G)$ [/mm] das Zentrum einer Gruppe bezeichnet, also die Untergruppe (!), die mit allen Gruppenelementen vertauscht,
den du ![[]](/images/popup.gif) hier (Aufgabe 34) findest.
An dem Beweis siehst du auch, dass nicht alle Diagonalmatrizen selbstähnlich sind, sondern nur solche, wo überall auf der Diagonalen das gleiche Element steht.
Liebe Grüße
Stefan
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