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Hallo zusammen,
ich versuche eine selbstgestellte Aufgabe in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu lösen. Hierzu habe ich mich im Netz eingelesen, doch die ganzen Würfel und Kartenspielbeispiele bringen mich nicht weiter. Es geht darum, dass ich 16 Wahrscheinlichkeiten [mm] 0
Die Wahrscheinlichkeit für jede Kombination sollte nach meinem bisherigen Verständnis ein Bruch mit 17 im Nenner sein. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Kombinationen sollte 1 sein.
Für Tipps oder Stichworte zum Einarbeiten wäre ich sehr dankbar! Auch eine Einschätzung zur Komplexität des ganzen würde mich interessieren.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Di 06.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Die Aufgabe ist leider etwas ungenau gestellt, deswegen hat sich wohl auch noch keiner gemeldet. Aber ich denke, ich weiß, was du meinst.
Formuliere lieber so um: Du hast insgesamt 16 sich nicht überschneidende unabhängige Ereignisse, die mit der Wahrscheinlichkeit [mm] $p_i$ [/mm] auftreten. Jetzt definierst du dir eine Kombination von Ereignissen (in deinem Fall die 17 Stück), die eintreten sollen.
Sollen die in einer bestimmten Reihenfolge auftreten oder in beliebiger Reihenfolge?
Fall 1a) Nur die Ereignisse [mm] $E_1...E_i$ [/mm] in fester Reihenfolge. Hierfür eignet sich gut ein Baumdiagramm. Du musst beachten, dass [mm] $E_{i+1}...E_{16}$ [/mm] nicht eintreten dürfen. hierfür wäre dann die Wahrscheinlichkeit [mm] $p_1\cdot...\cdot p_i\cdot (1-p_{i+1})\cdot...\cdot(1-p_{16})
[/mm]
Fall 1b) Nur die Ereignisse [mm] $E_1...E_i$ [/mm] in beliebiger Reihenfolge. Hierfür musst du noch die Information rausfiltern, die in Fall 1a) die Reihenfolge beschreibt. Also die Indizes durchpermutieren lassen (Multiplikation mit i! und (n-i)!)
Fall 2a) Hier treten die Ereignisse [mm] $E_1...E_i$ [/mm] auf und die anderen beliebig. Was passiert?
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Hallo,
> Formuliere lieber so um: Du hast insgesamt 16 sich nicht überschneidende unabhängige Ereignisse, die mit der Wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm] auftreten. Jetzt definierst du dir eine Kombination von Ereignissen (in deinem Fall die 17 Stück), die eintreten sollen. Sollen die in einer bestimmten Reihenfolge auftreten oder in beliebiger Reihenfolge?
Soweit so gut, doch das mit der Reihenfolge ist mir nicht so ganz klar. Ich versuche mal genauer zu beschreiben was ich wissen möchte:
Die 17 Ereignisse sollen Spielergebnisse abbilden: 0:9 ... 7:9 ,8:8, 9:7 ... 9:0. Diese 17 Ergebnisse bilden sich eben aus den 16 Wahrscheinlichkeiten, da es ja nur max. 16 Punkte gibt, mindestens jedoch 9. Es werden also [mm] P_1...P_9 [/mm] immer betrachtet, [mm] P_{9+i} [/mm] nur bei [mm] E_{9+i}...E_{17}
[/mm]
Von deinen aufgezeigten Fällen würde meiner Ansicht nach 1a am ehesten passen, doch nach kurzem Ausrechnen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass da was nicht passt. Ich habe die [mm] P_i [/mm] alle auf 0,9 gesetzt, somit müsste also die Wahrscheinlichkeit für 9:0 ziemlich groß und für 0:9 sehr klein sein, da jeder Punkt zu 90% für TeamA zählt. Jedoch bekomme ich für 9:0 [mm] \sim 4*10^{-8}. [/mm] Weiterhin für 4:9 eine um den Faktor 1000 geringer Wahrscheinlichkeit als 0:9. In diesem Test sollte die Wahrscheinlichkeiten von 9:0 bis 0:9 immer kleiner werden und in Summe 1 ergeben, oder?
Ich würde sagen, man muss ja nicht immer alle 16 Wahrscheinlichkeiten in die 17 Ereignisse mit einbeziehen. Bei 9:0 oder 0:9 würde ja [mm] P_1...P_9 [/mm] ausreichen. Bei 9:4 bzw. 4:9 nur [mm] P_1...P_{13}, [/mm] erst bei 9:7,8:8 und 7:9 müsste man [mm] P_1...P_{16} [/mm] betrachten. Die Wahrscheinlichkeit [mm] P_{10} [/mm] z.B. spielt ja erst eine Rolle wenn es nicht 9:0 oder 0:9 ausgeht, usw. Ich hoffe ich bin nicht ganz auf dem Holzweg...
Vielen Dank für deine Tipps.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mi 07.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du machst ist ziemlich undurchsichtig: kannst du deine 17 möglichkeiten nicht einfach mit 1 bis 17 durchnummerieren und ihnen dann Wahscheinlichkeiten [mm] P_i [/mm] zuordnen?
[mm] \summe_{i=1}^{17}p_i=1
[/mm]
was meinst du jetzt mit einige rausgreifen?
Wenn das 17 verschiedene spielausgänge für 2 mannschaften A und B sind, was heisst dann eine untermenge rausgreifen.
Wenn die spielen tritt doch eines der ereignisse ein. und du kannst wenn du drauf wetten willst auf 1-4 wetten oder auf genau 12 oder auf 1 bis 7 Wenn ich auf 1 bis 4 wette ist die W. dass ich gewinne p1+p2+p3+p4 usw.
kannst du deine Frage klarer formulieren.
gruss leduart
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Hallo,
ich möchte nicht auf verschiedene Spielausgänge Wetten. Ich kenne die Wahrscheinlichkeit der 17 verschiedenen Spielausgänge auch nicht, diese 17 Wahrscheinlichkeiten möchte ich jedoch gerne ausrechnen.
Als Grundlage habe ich dafür 16 Wahrscheinlichkeiten (Punkt für Team A) aus denen sich die verschiedenen Spielausgänge zusammensetzten. Das Spiel ist bei erreichen von 9 Punkten oder bei 8:8 beendet.
Möchte ich jetzt wissen mit welcher Wahrscheinlichkeit das Spiel 9:0 endet, so muss ich von den 16 Wahrscheinlichkeiten nur die 9 betrachten, da ja nur 9 Punkte gespielt werden und somit die Wahrscheinlichkeiten [mm] P_{10}...P_{16} [/mm] nicht betrachtet werden müssen. Für die Wahrscheinlichkeit von z.B. 9:5 müsste man also 14 Wahrscheinlichkeiten betrachten und in den 3 Maximalfällen (9:7,8:8,7:9) alle 16 Wahrscheinlichkeiten.
Die Reihenfolge in denen die 16 Wahrscheinlichkeiten zum Punktestand beitragen ist festgelegt. Hieraus folgt auch, dass bei 9:4 der letzte Punkte von Team A gemacht werden muss und somit der Punkt 4 von Team B vor dem 13 Spiel.
Ich hoffe es ist nun etwas klarer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich versteh das jetzt mal so: Es werden bis zu 16 Punkte vergeben. Der i-te Punkt geht mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_i [/mm] an Spieler bzw. Mannschaft A und mit Wahrscheinlichkeit [mm] 1-p_i [/mm] an Spieler/Mannschaft B. Gewonnen hat, wer zuerst 9 Punkte hat, bei 8:8 endet das Spiel unentschieden.
Wenn alle [mm] p_i=p [/mm] gleich sind, führt das auf eine Binomialverteilung. Z.B. bedeutet das Ergebnis 9:5, dass von den ersten 13 Punkten genau 8 an A und 5 an B gehen und dann der 14. Punkt an A geht. Die Wahrscheinlichkeit für den Zwischenstand 8:5 ergibt sich aus der Binomialverteilung mit n=13 und p:
P(8:5) = [mm] \vektor{13\\8}*p^8*(1-p)^5, [/mm] die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 9:5 ist dann
P(9:5)=p*P(8:5) = [mm] \vektor{13\\8}*p^9*(1-p)^5.
[/mm]
Für die übrigen Ergebnisse ist die Rechnung analog.
Sind die [mm] p_i [/mm] nicht alle gleich, gibt es keine geschlossene Formel mehr. Dann würde ich so vorgehen, die Wahrscheinlichkeiten für alle Zwischenstände rekursiv zu berechnen, also erst [mm] P(1:0)=p_1 [/mm] und [mm] P(0:1)=1-p_1, [/mm] dann
[mm] P(2:0)=p_2*P(1:0), P(1:1)=(1-p_2)*P(1:0)+p_2*P(0:1) [/mm] usw.
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Die Wahrscheinlichkeit für
> den Zwischenstand 8:5 ergibt sich aus der
> Binomialverteilung mit n=13 und p:
> P(8:5) = [mm]\vektor{13\\8}*p^8*(1-p)^5,[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 9:5 ist dann
> P(9:5)=p*P(8:5) = [mm]\vektor{13\\8}*p^9*(1-p)^5.[/mm]
> Für die übrigen Ergebnisse ist die Rechnung analog.
> Sind die [mm]p_i[/mm] nicht alle gleich, gibt es keine geschlossene
> Formel mehr.
> Dann würde ich so vorgehen, die
> Wahrscheinlichkeiten für alle Zwischenstände rekursiv zu
> berechnen, also erst [mm]P(1:0)=p_1[/mm] und [mm]P(0:1)=1-p_1,[/mm] dann
> [mm]P(2:0)=p_2*P(1:0), P(1:1)=(1-p_2)*P(1:0)+p_2*P(0:1)[/mm] usw.
Deine Ausführungen sind richtig, doch leider sind die [mm] p_i [/mm] nicht alle gleich und somit wird es auf die rekursive Berechnung hinauslaufen. Mal sehen wie weit ich da komme.
[mm] P(2:1)=p_3*P(1:1)?
[/mm]
[mm] P(1:2)=(1-p_3)*P(1:1)?
[/mm]
[mm] P(2:2)=(1-p_4)*P(2:1)+p_4*P(1:2)?
[/mm]
Falls das stimmt habe ich es glaube ich verstanden.
Vielen Dank!
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> Die Wahrscheinlichkeit für
> > den Zwischenstand 8:5 ergibt sich aus der
> > Binomialverteilung mit n=13 und p:
> > P(8:5) = [mm]\vektor{13\\8}*p^8*(1-p)^5,[/mm] die
> > Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 9:5 ist dann
> > P(9:5)=p*P(8:5) = [mm]\vektor{13\\8}*p^9*(1-p)^5.[/mm]
> > Für die übrigen Ergebnisse ist die Rechnung analog.
> > Sind die [mm]p_i[/mm] nicht alle gleich, gibt es keine
> geschlossene
> > Formel mehr.
> > Dann würde ich so vorgehen, die
> > Wahrscheinlichkeiten für alle Zwischenstände rekursiv zu
> > berechnen, also erst [mm]P(1:0)=p_1[/mm] und [mm]P(0:1)=1-p_1,[/mm] dann
> > [mm]P(2:0)=p_2*P(1:0), P(1:1)=(1-p_2)*P(1:0)+p_2*P(0:1)[/mm]
> usw.
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> Deine Ausführungen sind richtig, doch leider sind die [mm]p_i[/mm]
> nicht alle gleich und somit wird es auf die rekursive
> Berechnung hinauslaufen. Mal sehen wie weit ich da komme.
> [mm]P(2:1)=p_3*P(1:1)?[/mm]
> [mm]P(1:2)=(1-p_3)*P(1:1)?[/mm]
so ungefähr, siehe unten
> [mm]P(2:2)=(1-p_4)*P(2:1)+p_4*P(1:2)?[/mm]
das stimmt so
> Falls das stimmt habe ich es glaube ich verstanden.
Die Wahrscheinlichkeiten für alle Spielstände, die keine 0 und keine 9 enthalten, ergeben sich immer als Summe von zwei Termen (da es immer 2 mögliche "Vorgängerspielstände" gibt), also z.B.
[mm] P(2:1)=p_3*P(1:1)+(1-p_3)*P(2:0)
[/mm]
Ansonsten denke ich ist es nicht wirklich schwer, ein kleines Programm zu schreiben, das die gewünschten Wahrscheinlichkeiten ausrechnet.
>
> Vielen Dank!
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