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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Seltsame Art d. Induktion?
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Seltsame Art d. Induktion?: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Sa 17.10.2009
Autor: kappen

Aufgabe
Sei [mm] a_1=12 [/mm] und für n>1 sei [mm] a_{(n+1)}=\bruch{2n+6}{2n+1}*a_n [/mm]

Zeigen Sie [mm] a_n=\bruch{n!(n+2)!4^n}{(2n)!} [/mm]

Hi ihr lieben. Sitze gerade an einem Übungszettel und finde überhaupt keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Thema ist unter anderem Beweise durch Induktion und Binomialkoeffizienten.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob das überhaupt per Induktion gelöst werden soll, denn in dem Aufgabenteil ii steht explizit drin, dass ich per Indukption lösen soll. Diese Aufgabe war auch einfach bzw ich konnte sie lösen.

Ich weiß nicht genau, wie ich "zeigen Sie [mm] a_n=..." [/mm] interpretieren soll. Reicht es, wenn ich [mm] a_n [/mm] in das obere [mm] a_n [/mm] einsetze? [mm] a_n=\bruch{n!(n+2)!4^n}{(2n)!} [/mm] sieht so völlig anders aus, als der obere Teil, daher dachte ich auch an eine Art von [mm] \vektor{n \\ k}, [/mm] komme aber da auch nicht weiter.

Ich habs per Induktion versucht, da [mm] a_1 [/mm] ja gegeben ist. Aber in der Voraussetzung steht nun, dass n>1 sein muss. Verwirrt mich.

Wäre vielleicht jemand so freundlich und gibt mir einen kleinen Schubser in die richtige Richtung? :)

Danke im Voraus,
kappen

        
Bezug
Seltsame Art d. Induktion?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Sa 17.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]a_1=12[/mm] und für n>1 sei
> [mm]a_{(n+1)}=\bruch{2n+6}{2n+1}*a_n[/mm]

Hallo,

Du hast hier eine rekursiv definierte Folge:

das erste Folgenglied ist Dir gegeben, und dann hast Du noch eine Bastelanleitung, wie Du Dir aus einem Folgenglied, welches Du schon hast, das nächste bauen kannst.

>  
> Zeigen Sie [mm]a_n=\bruch{n!(n+2)!4^n}{(2n)!}[/mm]

Du sollst nun zeigen, daß Du mit dieser Vorschrift die Folgenglieder explizit berechnen kannst.

> Ich bin mir auch nicht sicher, ob das überhaupt per
> Induktion gelöst werden soll,

Ich denke schon, daß Induktion hier paßt.

Schauen wir einfach mal nach, wie es geht:

Induktionsanfang:

Du mußt nun nachrechnen, ob [mm] a_1=12 [/mm] wirklich dasselbe ist wie [mm] \bruch{1!(1+2)!4^1}{(2*1)!}. [/mm]

(Sieht gut aus.)

Induktionsvoraussetzung: es gelte [mm] a_k=\bruch{k!(k+2)!4^k}{(2k)!} [/mm] für ein [mm] k\in [/mm] k


Induktionsschluß [mm] k\to [/mm] k+1:

Hier ist zu zeigen, daß unter der Induktionsvoraussetzung die Aussage auch für k+1 stimmt, daß also  [mm] a_{k+1}=\bruch{(k+1)!((k+1)+2)!4^{k+1}}{(2(k+1))!} [/mm] richtig ist.

Bew.

[mm] a_{k+1}= \bruch{2k+6}{2k+1}*a_k \qquad \qquad [/mm] nach Def. der Folge

[mm] =\bruch{2k+6}{2k+1}* [/mm] ...     [mm] \qquad \qquad [/mm] Induktionsvoraussetzung verwenden, und dann weiter bis zum guten Ende umformen.

= ...=... =... =...= [mm] \bruch{(k+1)!(k+3)!4^{k+1}}{(2k+2)!} [/mm]

Gruß v. Angela


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Seltsame Art d. Induktion?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 So 18.10.2009
Autor: kappen

Ganz herzlichen Dank, habs jetzt.

Hatte sowas in der Art sogar auf meinem Zettel stehen, aber dachte nicht, dass ich durch Umformungen auf das Ergebnis kommen könnte.

War ja schon viel mit Zusammenfassen und erweitern und so verbunden.

Gibt es für Fakultäten irgendwelche Tips? Jetzt war es ja oft so, dass man (Teil-)Glieder erweitert oder zusammengefasst hat, sodass die die Fakultät "erhöht" wurde (wie drückt man das korrekt aus?:D).
Gibt es spezielle Rechenregeln für die Fakultät?

Und ich hab noch ne Frage allgemein zur Induktion. Wieso ist es möglich, eine Aussage als Induktionsvoraussetzung zu nehmen, die angeblich für n gilt? Ich weiß doch garnicht, dass sie gilt, oder? Und diese Voraussetzung wird verwendet um was für n+1 zu beweisen. Was ist, wenn die Voraussetzung schon falsch ist und man trotzdem durch rumrechnerei auf das "richtige" für n+1 kommt? :)

Danke für die Antwort

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Seltsame Art d. Induktion?: Prinzip der vollst. Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 So 18.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Und ich hab noch ne Frage allgemein zur Induktion. Wieso
> ist es möglich, eine Aussage als Induktionsvoraussetzung
> zu nehmen, die angeblich für n gilt? Ich weiß doch
> garnicht, dass sie gilt, oder? Und diese Voraussetzung wird
> verwendet um was für n+1 zu beweisen. Was ist, wenn die
> Voraussetzung schon falsch ist und man trotzdem durch
> rumrechnerei auf das "richtige" für n+1 kommt? :)


Hallo kappen,

es ist wichtig, sich das gesamte Konzept eines
Beweises mit vollständiger Induktion klar zu
machen. Bei einem solchen Beweis geht es
jeweils darum, eine gewisse Aussage A(n) für
alle [mm] n\in\IN [/mm] zu bestätigen. Dazu beweist man
zunächst, dass die Aussage A(1) wahr ist.
Im sogenannten Induktionsschritt muss man
dann nachweisen, dass die Aussage A(n+1) auch
wahr ist, falls A(n) wahr ist. Wenn diese
beiden Teile des Beweises gelungen sind, also
die Verankerung  "A(1) ist wahr"  und der Induk-
tionsschritt  "A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)", dann
darf aus beidem zusammen geschlossen werden,
dass die Aussage A(n) tatsächlich für alle [mm] n\in\IN [/mm]
gültig sein muss, denn aus A(1) folgt mittels
Induktionsschritt A(2), daraus wieder A(3) etc.

LG    Al-Chw.




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Seltsame Art d. Induktion?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 So 18.10.2009
Autor: kappen

Dankeschön, ich dachte man müsse "glauben", dass die Aussage für n bereits gilt.

Danke natürlich auch an alle anderen, die mir geantwortet haben :) Werde noch ein paar Aufgaben rechnen, u.a. auch mit Binomialkoeffizienten, vllt. melde ich mich nochmal in einem neuen Thread ;)

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Seltsame Art d. Induktion?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 So 18.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Dankeschön, ich dachte man müsse "glauben", dass die
> Aussage für n bereits gilt.

das würde eher schlecht in einen mathematischen Beweis
passen...

Vermutungen spielen zwar bei der Suche nach einem
Beweis oft eine wichtige Rolle. In einem Beweis mit voll-
ständiger Induktion verwendet man aber auch nicht Ver-
mutungen. Im Nachweis des Induktionsschrittes ist A(n)
eine Hypothese, also eine bedingt als wahr vorausgesetzte
Annahme. Die Bestätigung der Wahrheit aller A(n) für alle
[mm] n\in\IN [/mm] erfolgt eigentlich erst durch den konkreten Nachweis
für A(1) in der Verankerung und durch das Prinzip der voll-
ständigen Induktion, in welchem eigentlich unendlich viele
aufeinander folgende Implikationen begriffen sind, die man
niemals detailliert aufschreiben könnte. Und nebenbei gesagt:
das würde auch sehr lange vor der Unendlichkeit schon
unendlich langweilig ;-)


LG    Al-Chw.  

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Seltsame Art d. Induktion?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 So 18.10.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

Gerade bei dieser Aufgabe konnte man es sich leicht machen, indem man z.B. die Produktform der Aussage umgeformt hat:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{2n+6}{2n+1} [/mm]
Dann setzt man die explizite Formel ein und kürzt, wofür man nicht einmal nachdenken braucht.

lg

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Seltsame Art d. Induktion?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 So 18.10.2009
Autor: kappen

Hm, was möchtest du da ohne zu überlegen kürzen?

Schöne Grüße :)

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Seltsame Art d. Induktion?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 So 18.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Hm, was möchtest du da ohne zu überlegen kürzen?

Hallo,

er meint, daß man, wenn man für  [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] die (noch zu beweisenden!) expliziten Ausdrüke, also die mit den Fakultäten, einsetzt, gut kürzen kann.

Allerdings weiß man davon allein immer noch nicht, ob die explizite Darstellung stimmt.

Gruß v. Angela


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Seltsame Art d. Induktion?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 So 18.10.2009
Autor: kappen

Okay, dies ist also kein Beweis?!

Sondern höchstens etwas zur Überprüfung?

Danke & Schöne Grüße

Bezug
                                                        
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Seltsame Art d. Induktion?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 So 18.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Okay, dies ist also kein Beweis?!

Hallo,

das allein ist kein Beweis. man muß auch noch die Übereinstimmung der Startwerte prüfen.


Bei den Folgen

[mm] a_1=1, a_2=5, a_3=25, a_4=125 [/mm] usw.

und

[mm] b_1=2, b_2=10, b_3=50, b_4=250 [/mm]

gilt [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{b_{n+1}}{b_n}, [/mm]

aber gleich sind die nicht.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                
Bezug
Seltsame Art d. Induktion?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 So 18.10.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

> > Okay, dies ist also kein Beweis?!
>  
> Hallo,
>  
> das allein ist kein Beweis. man muß auch noch die
> Übereinstimmung der Startwerte prüfen.
>  
>
> Bei den Folgen
>  
> [mm]a_1=1, a_2=5, a_3=25, a_4=125[/mm] usw.
>

[mm] \bruch{a_2}{a_1}=5 [/mm] ist aber ungleich [mm] \bruch{2*1+6}{2*1+1}=8/3 [/mm]

> und
>
> [mm]b_1=2, b_2=10, b_3=50, b_4=250[/mm]
>  
> gilt [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{b_{n+1}}{b_n},[/mm]
>  
> aber gleich sind die nicht.

ich poste mal den Beweis:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(n+1)!(n+3)!4^{n+1}}{(2n+2)!}*\bruch{(2n)!}{(4^n)*n!(n+2)!}=4\bruch{(n+1)(n+3)}{(2n+2)(2n+1)}=2\bruch{(n+1)(n+3)}{(n+1)(2n+1)}=\bruch{2n+6}{2n+1} [/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n+1}=\bruch{2n+6}{2n+1}*a_n [/mm]
Somit erfüllt dieser explizite Ausdruck die Rekursionsbedingung. Das hat aber nichts mit vollst. Induktion zu tun.

lg

Bezug
                                                                        
Bezug
Seltsame Art d. Induktion?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 So 18.10.2009
Autor: angela.h.b.


> > Bei den Folgen
>  >  
> > [mm]a_1=1, a_2=5, a_3=25, a_4=125[/mm] usw.
> >
> [mm]\bruch{a_2}{a_1}=5[/mm] ist aber ungleich
> [mm]\bruch{2*1+6}{2*1+1}=8/3[/mm]

Hallo,

ja, das ist mir klar.

Dieses Beispiel, welches mit der Aufgabe nichts zu tun hat,  sollte dazu dienen, Dir zu zeigen, daß wir hier zwei Folgen haben mit [mm] \bruch{a_{n+1}{a_n}}=\bruch{b_{n+1}{b_n}}, [/mm] welche jedoch nicht gleich sind.

>  > und

> >
> > [mm]b_1=2, b_2=10, b_3=50, b_4=250[/mm]
>  >  
> > gilt [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{b_{n+1}}{b_n},[/mm]
>  >  
> > aber gleich sind die nicht.
>  
> ich poste mal den Beweis:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(n+1)!(n+3)!4^{n+1}}{(2n+2)!}*\bruch{(2n)!}{(4^n)*n!(n+2)!}=4\bruch{(n+1)(n+3)}{(2n+2)(2n+1)}=2\bruch{(n+1)(n+3)}{(n+1)(2n+1)}=\bruch{2n+6}{2n+1}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow a_{n+1}=\bruch{2n+6}{2n+1}*a_n[/mm]
>  Somit erfüllt
> dieser explizite Ausdruck die Rekursionsbedingung.

Der Ausdruck erfüllt die Rekursionsbedingung, das ist richtig.
Damit ist aber noch nicht gesagt, daß er wirklich die explizite Darstellung Folge [mm] (a_n) [/mm] ist.

Die Rekursionsbedingung würde nämlich z.B. von a'_n=$ [mm] \bruch{n!(n+2)!4^n}{17*(2n)!} [/mm] $ genauso erfüllt werden.

Man muß noch zeigen, daß [mm] a_1 [/mm] auch durch die explizite Darstellung  dargestellt wird. Und dies klappt bei a'_n=$ [mm] \bruch{n!(n+2)!4^n}{17*(2n)!} [/mm] $ nicht.

Gruß v. Angela







Das hat

> aber nichts mit vollst. Induktion zu tun.
>  
> lg


Bezug
                                                
Bezug
Seltsame Art d. Induktion?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 So 18.10.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

Ich habe mir den Beweis nochmal durch den Kopf gehen lassen und habe gemerkt, dass er funktioniert (Identität), aber keine vollst. Induktion darstellt.

lg

Bezug
                        
Bezug
Seltsame Art d. Induktion?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 So 18.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Gibt es für Fakultäten irgendwelche Tips?

Hallo,

der wichtigste: nicht vergessen, was n! bedeutet.

Wenn man weiß, was n! oder (2n)! oder (n+3)! bedeutet, dann ergibt sich vieles doch automatisch.

Man braucht oft, daß (n+1)!= n!*(n+1),

und daß (2n)!= n!*( n+1)*(n+2)*...(n+n).

Aber das braucht man sich nicht gesondert zu merken, wenn man n!=1*2*3*...*n weiß.


In den Dunstkreis der Fakultät gehört auch der Binomialkoeffizient, für den es einige Regeln gibt.

Gruß v, Angela





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