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(Semi-)Elastizität in Regr.: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 So 06.12.2015
Autor: xilef

Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass in dem Regressionsmodell

[mm] y_i [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k} x_{ij}^{\beta_j}\epsilon_{i} [/mm] mit [mm] x_{ij} [/mm] > 0 und [mm] E(\epsilon_{i}|x_{i}) [/mm] = 1 (i = 1, ..., n)

der Parameter [mm] \beta_{j} [/mm] ist exakt die Elastizität von [mm] E(y|x_{i}) [/mm] hinsichtlich [mm] x_{ij} [/mm]


Aufgabe 2
Bestätigen sie, dass der Parameter [mm] \beta_{j} [/mm] in dem Modell [mm] y_{i} [/mm] = [mm] E(x^{'}\beta)\epsilon_{i} [/mm] mit [mm] E(\epsilon_{i}|x_{i}) [/mm] = 1 ist exakt die Semi-Elastizität von [mm] E(y|x_{i}) [/mm] hinsichtlich [mm] x_{ij}. [/mm]


Hallo,

ich habe auch Schwierigkeit mit einer anderen Aufgabe:

Erstmal zu dem was ich verstehe: Die Elastizität des Parameters [mm] \beta_{j} [/mm] berechne ich durch die partielle Ableitung der jeweiligen Gleichung nach [mm] y_{i}. [/mm] Semi-Elastizität ist gegeben (hier in Aufgabe 2), wenn eine Seite der Gleichung logarithmiert ist.

Bei Aufgabe 1 weiß ich nicht, wie mit dem Produktsymbol richtig umgehe. Angenommen wir haben die Gleichung [mm] y_1 [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k} x_{1j}^{\beta_j}\epsilon_{1} [/mm] dann könnte ich die Gleichung umformen zu [mm] y_1 [/mm] = [mm] x_{11}^{\beta_1} [/mm] * [mm] x_{12}^{\beta_2}, [/mm] ... [mm] x_{ij}^{\beta_j}. [/mm] Den Term könnte ich auch logarithimieren und dann ableiten. Aber darf ich das?

Aufgabe 2: Hier würde ich auf jeden fall zu erst logarithimieren, Der Erwartungwert für [mm] E(\epsilon_{i}|x_{i}) [/mm] würde die Gleichung vereinfachen zu. Kann ich danach dann einfach ableiten oder gibt's noch was zu beachten?

Ich habe das Gefühl etwas Grundlegendes zu übersehen oder einen großen Fehler zu machen.

Vielen Dank und allen einen schönen 2. Advent!

Felix

        
Bezug
(Semi-)Elastizität in Regr.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 So 06.12.2015
Autor: luis52


> Zeigen Sie, dass in dem Regressionsmodell
>  
> [mm]y_i[/mm] = [mm]\produkt_{j=1}^{k} x_{ij}^{\beta_j}\epsilon_{i}[/mm] mit
> [mm]x_{ij}[/mm] > 0 und [mm]E(\epsilon_{i}|x_{i})[/mm] = 1 (i = 1, ..., n)
>  
> der Parameter [mm]\beta_{j}[/mm] ist exakt die Elastizität von
> [mm]E(y|x_{i})[/mm] hinsichtlich [mm]x_{ij}[/mm]
>
>  
> Erstmal zu dem was ich verstehe: Die Elastizität des
> Parameters [mm]\beta_{j}[/mm] berechne ich durch die partielle
> Ableitung der jeweiligen Gleichung nach [mm][mm] y_{i}. [/mm]

Das stimmt nur semi. ;-)

> Bei Aufgabe 1 weiß ich nicht, wie mit dem Produktsymbol
> richtig umgehe.

Machen wir uns die Chose mal einfacher, indem wir auf $i$ verzichten und mit $k=2$ argumentieren. Betrachte also [mm] $y=x^{\beta_1}z^{\beta_2}\varepsilon$. [/mm] Dann ist [mm] $\operatorname{E}[y\mid x,z]=x^{\beta_1}z^{\beta_2}=g(y)$. [/mm] Die  Elastizität von $ [mm] E(y|x_{i}) [/mm] $ hinsichtlich $x$ ist definiert durch [mm] $\frac{\partial g(y)/\partial x}{g(y)/x}$ [/mm] ...

Dir auch noch einen schoenen 2. Advent, Felix. (Trotz allem ...)

Bezug
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