Semibilinear - und Bilineaform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 So 11.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo,
ich lerne gerade für meine Lineare Algebra Klausur und bin beim Thema Semibilinear - und Bilinearform angekommen.
Bei mir im Skript heißt es:
"Sei K ein Körper, J:K [mm] \to [/mm] K ein Körperautomorphismus mit [mm]J^{2}=id[/mm] und X,Y K-Vektorräume. Dann heißt eine Abbildung [mm]\beta: X \times Y \to K [/mm] Semibilinearform, wenn ..."
Dann folgen die Eigenschaften und darunter steht:
"Eine Semibilinearform heißt Bilinearform, falls [mm]J=id[/mm]"
Soweit zur Theorie. Dazu haben wir ein Beispiel gegeben:
"Sei K Körper und [mm]\beta: K \times K \to K [/mm] definiert durch [mm]\beta(x,y):=x*y[/mm]. Dann ist [mm] \beta [/mm] Bilinearform, da im Körper das Distributivgesetz und das Assoziativgesetz gilt und die Multiplikation kommutativ ist."
Meine Frage: Woher weiß ich dass das eine Bilinearform ist (sprich [mm]J=id[/mm]) und keine Semibilinearform (sprich [mm] J^{2}=id). [/mm] Was genau heißt überhaupt dieses J=id in diesem Beispiel?
Hoffe jemand kann mir helfen
Gruß
|
|
| |
|
Huhu,
schreib doch mal bitte ausführlich hin, wie ihr den ganzen Kram wirklich definiert habt.
Ich vermute mal, da steht nachher irgendwie sowas wie [mm] \beta [/mm] semibilinear, wenn gilt [mm] $\beta(\lambda [/mm] x,y) = [mm] J(\lambda)\beta(x,y)$ [/mm] + einige weitere Eigenschaften 
Dann ist auch klar, dass eine Körpermultiplikation das erfüllt, denn es gilt ja:
[mm] $\beta(\lambda*x,y) [/mm] = [mm] (\lambda*x)*y \overbrace{=}^{\text{Assoziativität}} \lambda*(x*y) [/mm] = [mm] id(\lambda)*\beta(x,y)$
[/mm]
Für die andere Eigenschaft musst du noch die Kommutativität verbraten und dann hast dus (also falls [mm] \lambda [/mm] vor y steht).
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 11.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
Ja, da hast du Recht. Das habe ich auch verstanden, mir ging es nur darum woher ich weiß ob es nun eine Semibilinearform oder eine Bilinearform ist, da die Eigenschaften bis auf [mm]J=id[/mm] für Bilinearform und [mm]J^{2}=id[/mm] für Semibilinearform gleich sind.
Woher weiß ich jetzt welche es ist?
|
|
|
| |
|
Hallo,
in
[mm] \beta:K\times K\to [/mm] K
[mm] \beta(x,y):=x*y
[/mm]
steht der Punkt für die Multiplikation im Körper.
Man kann nun die Bedingungen für "Bilinearform" abarbeiten, und man kommt zu:
Sei nun [mm] \lambda\in [/mm] K.
Es ist [mm] \beta(\lambda [/mm] x, [mm] y)=\beta(\lambda*x,y)=(\lambda*x)*y= \lambda*(x*y)=id_K(\lambda)\beta(x,y),
[/mm]
[mm] \beta(x,\lambda [/mm] y) brauchst Du noch die Kommutativität.
Hier ist also das ominöse J die Identität auf K.
Mal generell: wenn Dein Körper K der Körper [mm] \IR [/mm] ist, gibt es überhaupt nur einen solchen Körperautomorphismus J mit [mm] J^2=id_{\IR}, [/mm] nämlich die Identität.
Ist [mm] K=\IC, [/mm] dann gibt es noch einen weiteren, nämlich [mm] J(\lambda):=\overline{\lambda}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 11.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
Danke erstmal für die Antwort!
> [mm]\beta(\lambda[/mm] x, [mm]y)=\beta(\lambda*x,y)=(\lambda*x)*y= \lambda*(x*y)=id_K(\lambda)\beta(x,y),[/mm]
Was genau bedeutet [mm]id_K(\lambda)[/mm], dass [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda [/mm] ?
> [mm]\beta(x,\lambda[/mm] y) brauchst Du noch die Kommutativität.
Für die Semilinearität in der zweiten Komponente haben wir definiert:
[mm]\beta(x,\lambda y)=J(\lambda)*\beta(x,y)[/mm]
Was bedeutet dieses [mm] J(\lambda)? [/mm] Bei der Linearität in der ersten Komponente heißt es ja nur [mm]\beta(\lambda x,y)=\lambda*\beta(x,y)[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Was genau bedeutet [mm]id_K(\lambda)[/mm], dass [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda[/mm] ?
[mm] $id_K$ [/mm] ist die Funktion, die jedes Element [mm] \lambda [/mm] aus K auf sich selbst abbildet, also wieder auf [mm] \lambda.
[/mm]
Es ist halt die Identität auf K, darum auch [mm] $id_K$
[/mm]
> Für die Semilinearität in der zweiten Komponente haben
> wir definiert:
>
> [mm]\beta(x,\lambda y)=J(\lambda)*\beta(x,y)[/mm]
>
> Was bedeutet dieses [mm]J(\lambda)?[/mm] Bei der Linearität in der
> ersten Komponente heißt es ja nur [mm]\beta(\lambda x,y)=\lambda*\beta(x,y)[/mm]
Das ist genau dein J aus der Definition von semibilinear.
Gibt es so eine Abbildung J für die gilt:
$J:K [mm] \to [/mm] $ K Körperautomorphismus mit $ [mm] J^{2}=id_K$, [/mm] so dass
[mm] $\beta(\lambda x,y)=\lambda*\beta(x,y) [/mm] und [mm] $\beta(x,\lambda*y)=J(\lambda)*\beta(x,y)$ [/mm] gilt, dann heißt [mm] \beta [/mm] semibilinear (sofern die anderen Bedingungen auch noch erfüllt sind).
Für den Spezialfall $J = [mm] id_K$ [/mm] heißt [mm] \beta [/mm] dann bilinear.
Insbesondere ist daher jede bilineare Abbildung nach obiger Definition semibilinear, da ja für die Identität $J = [mm] id_K$ [/mm] alle obigen Eigenschaften gelten, denn [mm] $id_K$ [/mm] ist ein Körperautomorphismus auf K und es gilt [mm] $id_K^2 [/mm] = [mm] id_K$.
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
|
