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| Aufgabe | Bestimme stationären Punkte und ob es sich dabei um Max/Min/Sattelpunkt handelt.
f(x)= [mm] x_{1}^{4} [/mm] - [mm] 2x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}
[/mm]
Gradient:
[mm] \vektor{4x_{1}^{3}-4x_{1}+x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2}} [/mm] = 0
Hessematrix:
[mm] \pmat{ 12x_{1}^{2}-4 & 2x_{2} \\ 2x_{2} & 2x_{1} }
[/mm]
Stationäre Punkte: (0,0) , (-1,0), (1,0)
Hessematrix von (0,0)
[mm] \pmat{ -4 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] |
Hallo,
Ich habe eine Funktion in zwei Variablen deren stationären Punkte ich bestimmen soll.
Bei einem Punkt habe ich nun eine negativ semidefinite Hessematrix.
Meine Frage ist nun wie ich herausfinden kann, ob es sich bei diesem stationären Punkt um einen Sattelpunkt oder um ein Maximum handelt.
Viele Grüße
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Hallo Pepino1313,
Bei semidefiniter Hessematrix benötigt es in der Regel eine genauere Betrachtung des zu untersuchenden kritischen Punktes.
Betrachte mal [mm] f(\epsilon,0) [/mm] und [mm] f(-\epsilon,0) [/mm] für besonders kleine [mm] \epsilon [/mm] (also nahe 0).
LG, petapahn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Do 21.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Pepino1313,
>
> Bei semidefiniter Hessematrix benötigt es in der Regel
> eine genauere Betrachtung des zu untersuchenden kritischen
> Punktes.
>
> Betrachte mal [mm]f(\epsilon,0)[/mm] und [mm]f(-\epsilon,0)[/mm] für
> besonders kleine [mm]\epsilon[/mm] (also nahe 0).
Was soll das bringen ? Es ist
[mm]f(\epsilon,0)[/mm]= [mm]f(-\epsilon,0)[/mm]
FRED
>
> LG, petapahn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Do 21.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist
$f(x,0)<f(0,0)$ ?
Für welche x>0 ist
$f(x, [mm] \wurzel{2x})>f(0,0)$ [/mm] ?
FRED
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Hallo Fred,
Vielen Dank für deine Antwort.
Versteh ich das richtig, wir schauen jetzt ja trotzdem die Umgebung an?
Zur ersten Frage: ich will also ein x finden, sodass ich einen Funktionswert erhalte, der kleiner ist als der am Nullpunkt?
Und bei der zweiten Frage einen, der größer ist?
Wir sagen jetzt, dass x>0 sein muss. Warum?
Und mit welchem Ziel wählst du [mm] \wurzel{2x_{1}} [/mm] aus? Damit erreichen wir, dass [mm] f(x)=x^{4} [/mm] ist...
Klar ist mir das ganze noch nicht, wie du wahrscheinlich merkst :) ALso warum machen wir was, um was zu erhalten. Das habe ich noch nicht verstanden.
LG Pepino
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 22.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> Vielen Dank für deine Antwort.
> Versteh ich das richtig, wir schauen jetzt ja trotzdem die
> Umgebung an?
??? Welche ?
>
> Zur ersten Frage: ich will also ein x finden, sodass ich
> einen Funktionswert erhalte, der kleiner ist als der am
> Nullpunkt?
Nein, Du brauchst mehr !
Es ist [mm] f(x,0)=x^4-2x^2=x^2(x^2-2). [/mm] Damit haben wir:
(1) f(x,0)<0=f(0,0) für alle x mit [mm] 0<|x|<\wurzel{2}
[/mm]
>
> Und bei der zweiten Frage einen, der größer ist?
> Wir sagen jetzt, dass x>0 sein muss. Warum?
> Und mit welchem Ziel wählst du [mm]\wurzel{2x_{1}}[/mm] aus? Damit
> erreichen wir, dass [mm]f(x)=x^{4}[/mm] ist...
Ja, es ist
(2) [mm] $f(x,\wurzel{2x})=x^4 [/mm] >0 =f(0,0) $ für alle x>0.
>
> Klar ist mir das ganze noch nicht, wie du wahrscheinlich
> merkst :) ALso warum machen wir was, um was zu erhalten.
> Das habe ich noch nicht verstanden.
Aus (1) und (2) folgt:
In jeder Umgebung um (0,0) nimmt f sowohl positive als auch negative Funktionswerte an. Da f(0,0)=0 ist, kann f in (0,0) kein lokales Extremum haben.
FRED
>
> LG Pepino
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