Semidirektes Produkt Diedergr. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 07.11.2010 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Zeigen Sie,
dass [mm] D_{n} [/mm] isomorph zu einem nichtabelschen semidirekten Produkt von [mm] Z_{n} [/mm] mit [mm] Z_{2} [/mm] ist, indem Sie eine passende
Operation eines solchen Produktes auf einem regulären n-Eck beschreiben. |
Hallo,
ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe zu Diedergruppen und zum semidirekten Produkt.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich eine solche Operation, wie in der Aufgabe gefordert, finden kann.
Ich habe bereits nachgeschlagen, wie das semidirekte Produkt definiert ist und weiß auch, dass ein Isomorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist, aber weiter komme ich auch nicht.
Vielen Dank im Voraus und viele Grüße,
Anette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 So 07.11.2010 | | Autor: | moudi |
Fuer ein (inneres) Semidirektes Produkt braucht man einen Normalteiler N und eine Untergruppe U so, dass [mm] $N\capU={e}$ [/mm] und $G=NU$.
Als Untergruppe waehle eine geeignet Spiegelung s und $U={e,s}$. Als Normalteiler N wahle die Rotationen.
Wie man inneres und auesseres Semidirektes Produkt identifizieren kann, kannst du auf Wikipedia nachlesen. Die Operation ist dann "Konjugation" mit einem Gruppenelement.
mfG Moudi
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