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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 04.05.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
habe folgende Aufgabe erhalten. Bitte um Ansätze.
Sei [mm] V=I([a,b],\IR) [/mm]der reelle Vektorraum aller integrierbaren beschränkten Funktionen.[mm]f:[a,b] \to \IR.[/mm]
Für [mm]f,g \in V[/mm] gilt auch
[mm][mm] fg=\bruch{1}{2}((f+g)^{2}-f²-g²) \in[/mm] [mm]V[/mm]
Definiere f°g:= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {fg}= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)g(x) dx}
(i) Beweise: f°g definiert ein Semiskalarprodukt auf V, dh anstatt "postitiv definit" wird lediglich "positiv semidefinit" verlangt, also f°f >= 0 für alle f [mm] \in [/mm] V.
(ii) Formuliere die zugehörige Cauchy-Schwarz-Ungl. für Integrale.
(iii) Beweise: Auf dem Unterraum auf [mm]C([a,b],\IR)[/mm] von V definiert f°g ein Skalarprodukt.
Benötige dringend Ansätze.
Danke.
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Hallo DeusRa,
> (i) Beweise: f°g definiert ein Semiskalarprodukt auf V, dh anstatt "postitiv > definit" wird lediglich "positiv semidefinit" verlangt, also f°f >= 0 für alle f > [mm]\in[/mm] V.
Was macht denn solch ein Skalarprodukt aus?
Welche Eigenschaften hat es und bei welcher hast Du Schwierigkeiten?
> (ii) Formuliere die zugehörige Cauchy-Schwarz-Ungl. für Integrale.
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe (nur raussuchen) reicht ein Blick ins Tafelwerk oder Du bemühst googel.
> (iii) Beweise: Auf dem Unterraum auf [mm]C([a,b],\IR)[/mm] von V > definiert f°g ein Skalarprodukt.
Hier bleibt nach (i) wohl nur die positive Definitheit zu zeigen.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:48 Mi 04.05.2005 | | Autor: | DeusRa |
(i)Also die Eigenschaften sind mir klar, jedoch soll ich diese in der Form
(f+f~)g=gf+gf~ oder in der Form
oder am Integral zeigen ????
(ii) Also ich weiß wie die CS-Ungl. lautet, jedoch sollen wir das dann über fg=1/2 ....... zeigen ????? Zu Google steht nix da
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Hallo DeusRa,
> (i)Also die Eigenschaften sind mir klar, jedoch soll ich
> diese in der Form
> (f+f~)g=gf+gf~ oder in der Form
> oder am Integral zeigen ????
Du mußt die Definition an deinem Skalarprodukt zeigen also am Integral.
> (ii) Also ich weiß wie die CS-Ungl. lautet, jedoch sollen
> wir das dann über fg=1/2 ....... zeigen ????? Zu Google
> steht nix da
Was "formuliere" nun genau bedeuten soll weiß ich auch nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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