Senkrechte Projektion auf g < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Haddibo |
| Aufgabe | | Durch welche Matrix P wird die senkrechte Projektion eines Punktes X des [mm] R^2 [/mm] auf die Gerade mit der Gleichung [mm] x_2=x_1 [/mm] beschrieben? |
Ich habe bereits dies https://matheraum.de/read?t=546546
gefunden und mein Ansatz lautet daher:
Alle Punkte des [mm] R^2 [/mm] werden durch die Abbildungsmatrix M senkrecht auf die Gerade mit [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] abgebildet.
Diese Gerade hat den Vektor [mm] \alpha [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Der Vektor, der die Punkte auf g abbildet, lautet [mm] \beta [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] .
Ist dies nun eine Abbildung von [mm] R^2 [/mm] auf [mm] R^1? [/mm] Und wie komme ich zur Abbildungsmatrix?
Ich wäre dankbar, wenn ihr das schrittweise erklären könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nur wissen, wo die 2 Einheitsvektoren hinkommen also (0,1) und (1,0) die spaltn der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Bsisvektoren.
und das kannst du durch ne Skizze rauskriegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Haddibo |
> Hallo
> du musst nur wissen, wo die 2 Einheitsvektoren hinkommen
> also (0,1) und (1,0) die spaltn der Abbildungsmatrix sind
> die Bilder der Bsisvektoren.
> und das kannst du durch ne Skizze rauskriegen.
> Gruss leduart
Die Einheitsvektoren kommen auf den Punkt mit [mm] x_1=x_2, [/mm] vom Punkt X aus oder wie meinst du das?
Ich habe mir den Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix durchgelesen.
Ich würde so vorgehen wie im Beispiel unter "Abbildung in eine allgemeine Basis" geschrieben.
f: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^1, [/mm] f( (x,y) ) = (x,x) (Das kommt mir schon komisch vor)
A = ( (1,0); (0,1) )
allgemeine Basis B = ( (1,1);(1,-1) )
Wäre schön, wenn ihr es mir anhand der "Beispiel-Anleitung" in Wikipedia erklären könntet, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wohin wird denn der Vektor (1,0) genau hinprojiziert? und wohin der Vektor (0,1)
da muss ein Vektor mit Zahlen stehen; dass x1=x2 ist gilt auch für jeden anderen Vektor.
zum 2. ten Teil der Frage: du machst doch hier keinen Basiswechsel?? warum willst du also das gezeigt haben?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Haddibo |
Ich versteh das jetzt nur insofern, als der Vektor (1,0) und der Vektor (0,1) auf den Vektor (a,a) projiziert wird.
Verstehe ich das richtig, dass du hierauf hinauswillst? Der Punkt X mit dem zugehörigen Vektor [mm] (x_1, x_2) [/mm] wird auf die Gerade mit [mm] (x_1=x_2) [/mm] projiziert, indem ich die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) benutze?
Wenn ich z. B den Punkt(7/3) habe und ihn senkrecht auf die Gerade projiziere, so ist P'(5/5).
Also:
[mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + (-2) * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + 2 * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Haddibo |
Der Vektor (0,1) wird durch (0,5, -0,5) und der Vektor (1,0) durch (-0,5,0,5) senkrecht auf die Gerade projiziert. Sind dies nun die Bilder und daher die Spalten der Matrix, also
M= [mm] \begin{pmatrix}
0,5 & -0,5 \\
-0,5 & 0,5
\end{pmatrix} [/mm] ?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mir ist nicht ganz klar, was Du weißt und was nicht.
Zur Darstellungsmatrix:
In den Spalten der Darstellungmatrix stehen die Bilder der beiden Einheitsvektoren - dies hast Du in Deiner Mitteilung wohl bereits umzusetzen versucht.
In der ersten Spalte muß das Bild von [mm] \vektor{1\\0} [/mm] stehen, in der zweiten das von [mm] \vektor{0\\1}.
[/mm]
Zur Abbildung:
Hast Du Dir eigentlich mal eine Skizze gemacht?
Weißt Du überhaupt, was eine senkrechte Projektion ist? (Ich habe Zweifel...)
Anschaulich: Du beleuchtest Deinen Vektor senkrecht zu der Geraden g, auf welche projiziert werden soll und schaust den Schatten auf g an.
Die mathematische Umsetzung: überleg Dir mal, auf welchen Vektor der Vektor [mm] v_1:=\vektor{1\\1} [/mm] projiziert wird.
Nimm Dir einen dazu senkrechten Vektor [mm] v_2. [/mm] Auf welchen wird [mm] v_2 [/mm] projiziert?
Schreibe die beiden Standardeinheitsvektoren als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] und überlege Dir nun das Bild.
Gruß v. Angela
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