Separable Variablen? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Drno |
| Aufgabe | Man löse. sofern möglich:
u' sin(x) = u ln(u)
x>0, u(0)=1 |
Hallo,
ich habe zu obiger Frage folgende Lsg. gegeben:
[mm] u(x)=e^{tan( \bruch{x}{2}) c}
[/mm]
c [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi)
[/mm]
Leider fehlt mit hier jeglicher Ansatz, ich habe vermutet, dass es sich dabei um den Typ der separablen Variablen handelt, allerdings bekommen ich die daraus entstehende Integrale nicht gelöst.
[mm] \integral_{1}^{u}{\bruch{1}{u ln(u)} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{sin(x)} dx}
[/mm]
Welchen Ansatz sollte ich wählen?
Vielen Dank im Voraus.
Moritz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Moritz,
> Man löse. sofern möglich:
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> u' sin(x) = u ln(u)
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> x>0, u(0)=1
> Hallo,
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> ich habe zu obiger Frage folgende Lsg. gegeben:
>
> [mm]u(x)=e^{tan( \bruch{x}{2}) c}[/mm]
>
> c [mm]\in \IR[/mm] und x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\pi)[/mm]
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> Leider fehlt mit hier jeglicher Ansatz, ich habe vermutet,
> dass es sich dabei um den Typ der separablen Variablen
> handelt, allerdings bekommen ich die daraus entstehende
> Integrale nicht gelöst.
>
> [mm]\integral_{1}^{u}{\bruch{1}{u ln(u)} du}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{x}{\bruch{1}{sin(x)} dx}[/mm]
>
> Welchen Ansatz sollte ich wählen?
Viel bessere voraussetzungen als getrennte variablen gibt es zum lösen einer dgl. eigentlich nicht, du solltest diesen ansatz also weiterverfolgen.
das ln-integral kannst du auch leicht durch substitution lösen.
das sin-integral ist ein wenig kniffeliger: bei solchen aufgabe empfiehlt es sich oft,additionstheoreme o.ä. anzuwenden, um auf einfachere terme zu kommen (bei wikipedia findest du einiges).
zB. gibt es eine beziehung
[mm] $\sin(2x)=...=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$
[/mm]
Mit ein wenig geschick und einsatz dieser formel kannst du das integral lösen.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 25.07.2006 | | Autor: | Drno |
Hallo Matthias,
danke für die Antwort.
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{sin(x)} dx}[/mm] führt mit dem Ansatz dann auf [mm] ln(tan(\bruch{x}{2})),
[/mm]
dass sieht ja schonmal nicht schlecht aus. Allerdings habe ich ein Problem mit dem anderen Integral:
[mm]\integral_{1}^{u}{\bruch{1}{u ln(u)} du}[/mm]
wenn ich u = [mm] e^{v} [/mm] substituiere komme ich dann auf:
[mm] \integral_{0}^{ln(u)}{\bruch{1}{v} dv}
[/mm]
Wenn ich jetzt integriere kann ich 0 nicht mehr einsetzen, da ln(0) nicht definiert ist. Habe ich da einen Fehler gemacht?
Moritz
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Hallo Drno!
Warum bestimmst Du diese Integrale nicht unbestimmt und berücksichtigst die Angaben $x \ > \ 0$ bzw. $u(0) \ = \ 1$ (wobei dieser Anfangswert m.E. ja der ersten Vorgabe widerspricht) erst am Ende bei der Funktion $u(x)_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Di 25.07.2006 | | Autor: | Drno |
Stimmt, das tuts,
danke für den Hinweis.
Moritz
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