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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Separation der Variablen
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Separation der Variablen: Wie geht es weiter?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:16 Di 22.12.2015
Autor: mikexx

Aufgabe
Sei [mm] $\Omega=(0,a), [/mm] a>0$ und seien $u(x,t), [mm] v(x,t)\in\mathbb{R}$ [/mm] Funktionen. Betrachte die folgenden Reaktions-Diffusionsgleichungen:
$$
[mm] \partial_tu=\Delta u+\gamma f(u,v)\text{ für }x\in\Omega,t>0, [/mm]
$$
$$
[mm] \partial_t v=d\Delta v+\gamma g(u,v)\text{ für }x\in\Omega,t>0, [/mm]
$$
wobei [mm] $d,\gamma>0$. [/mm]

Es gelten homogene Neumann-Randbedingungen, d.h. für alle [mm] $x\in\partial\Omega$ [/mm] gelte
$$
[mm] \nabla u(x,t)\cdot [/mm] n = [mm] \nabla v(x,t)=0~\forall [/mm] t>0,
$$
wobei $n$ der äußere Normalenvektor sei.

Nun werde in [mm] $(u_0,v_0)$ [/mm] linearisiert. Dies ergibt die folgende Gleichung (in Vektorschreibweise):
$$
[mm] \partial_tW=D\Delta W+\gamma [/mm] AW   (*)
$$
wobei
$$
[mm] W=\begin{pmatrix}u-u_0\\v-v_0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & d\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}f_u(u_0,v_0) & f_v(u_0,v_0)\\g_u(u_0,v_0) & g_v(u_0,v_0)\end{pmatrix}. [/mm]
$$

Wie kann man (*) lösen?


Hallo!

Das Einzige, das mir dazu einfällt, ist Separation der Variablen.

Der Ansatz sei also: $W(x,t)=X(x)T(t)c, [mm] c\in\mathbb{R}^2$ [/mm]

Setze ich diesen Ansatz in (*) ein, erhalte ich
$$
[mm] X(x)T'(t)c=T(t)X''(x)Dc+\gamma [/mm] X(x)T(t)Ac.
$$
Formt man dies um, ergibt sich
$$
[mm] \frac{T'(t)}{T(t)}c=\frac{X''(x)}{X(x)}Dc+\gamma [/mm] Ac.
$$

Wie üblich bei der Separation, müssen nun beide Gleichungsseiten konstant sein; hier haben wir Vektoren, von daher gilt also
$$
[mm] \frac{T'(t)}{T(t)}c=\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\end{pmatrix}=\frac{X''(x)}{X(x)}Dc+\gamma [/mm] Ac   (**)
$$
für Konstanten [mm] $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. [/mm]

Jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen könnte.
Theoretisch müsste man nun aus (**) zwei Gleichungen ablesen können, so etwas wie $T'(t)=k T(t)$ und $X''(x)=m X(x)$. Aber ich weiß nicht, wie ich solche Gleichungen aus (**) bekomme bzw. ablesen kann, da wir hier Matrizen und Vektoren haben.

Ich kann das Ganze natürlich auch nicht in der Vektorschreibweise machen, denn das verwirrt mich dann doch etwas; dann habe ich das in [mm] $(u_0,v_0)$ [/mm] linearisierte System gegeben durch

$$
[mm] \partial_t w_1=\Delta w_1+\gamma\cdot(f_u(u_0,v_0)w_1+f_v(u_0,v_0)w_2) [/mm]
$$
$$
[mm] \partial_t w_2=d\Delta w_2+\gamma\cdot (g_u(u_0,v_0)w_1+g_v(u_0,v_0)w_2). [/mm]
$$

Der Separationsansatz ist jetzt (denke ich)
[mm] $w_1(x,t)=X(x)T(t), w_2(x,t)=Z(x)Y(t)$. [/mm]

Dies eingesetzt in die erste Gleichung ergibt
\displaystyle X(x)T'(t)=X''(x)T(t)+\gamma(f_u(u_0,v_0)X(x)T(t)+f_v(u_0,v_0)Z(x)Y(t)),
das man umformen kann in
\displaystyle \frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}+\gamma(f_u(u_0,v_0)+f_v(u_0,v_0)\cdot \frac{Z(x)Y(t)}{X(x)T(t)}).

Das ist wieder der Punkt, an dem ich nicht weiter komme.



Vielleicht kann mir jemand weiter helfen?



Viele Grüße

        
Bezug
Separation der Variablen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Do 24.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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