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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 18.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Hallo zusammen,
Lern gerade für meine mündliche LA klausur und bin auf folgende Aufgabe gestoßen, bei der ich so gar keine Ahnung hab wie man selbige beweisen kann. Und zwar sei V ein endl.dim.VR und U ein UVR. Sei [mm] \pi:V \to [/mm] V/U die kanonische Abb. in den Quotientenvektorraum und t:U [mm] \to [/mm] V die Inklusionsabbildung von U nach V. Zu zeigen ist nun, dass die Sequenz
0 [mm] \to U\to [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U [mm] \to [/mm] 0 exakt ist. Meine erste Frage ist nun was eine Inklusionsabbildung ist? Um nun die Exaktheit der Sequenz zu zeigen muss man doch beweisen, dass [mm] im(t)=ker(\pi) [/mm] oder?
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> Und zwar sei V ein
> endl.dim.VR und U ein UVR. Sei [mm]\pi:V \to[/mm] V/U die kanonische
> Abb. in den Quotientenvektorraum und t:U [mm]\to[/mm] V die
> Inklusionsabbildung von U nach V. Zu zeigen ist nun, dass
> die Sequenz
> 0 [mm]\to U\to[/mm] V [mm]\to[/mm] V/U [mm]\to[/mm] 0 exakt ist.
>Meine erste Frage ist
> nun was eine Inklusionsabbildung ist?
Hallo,
die Inklusionsabbildung ist nur schwach geheimnisvoil:
[mm] t:U\to [/mm] V mit
t(u):=u.
> Um nun die Exaktheit
> der Sequenz zu zeigen muss man doch beweisen, dass
> [mm]im(t)=ker(\pi)[/mm] oder?
Ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 18.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Vielen Dank für deine Antwort :)
Ok wir wissen ja dass das Bild der Abbildung t immer u ist wobei [mm] u\in [/mm] U ist. nun ist doch nur noch zu zeigen, dass [mm] u\in [/mm] kern V ist also auf Null in V\ U abgebildet wird Stimmt das soweit?
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> Vielen Dank für deine Antwort :)
> Ok wir wissen ja dass das Bild der Abbildung t immer u ist
> wobei [mm]u\in[/mm] U ist. nun ist doch nur noch zu zeigen, dass
> [mm]u\in[/mm] kern V ist also auf Null in V\ U abgebildet wird
> Stimmt das soweit?
Hallo,
ja, Du meinst es richtig - die Formulierung ist noch nicht ganz ausgegoren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mo 19.07.2010 | | Autor: | andreas |
> Ok wir wissen ja dass das Bild der Abbildung t immer u ist
> wobei [mm]u\in[/mm] U ist. nun ist doch nur noch zu zeigen, dass
> [mm]u\in[/mm] kern V ist also auf Null in V\ U abgebildet wird
beachte, dass dies - mit der entsprechend angepassten formulierung (siehe angelas antwort) - nur zeigt, dass [mm] $\textrm{Im} \, [/mm] t [mm] \subseteq \textrm{Ker} \, \pi$. [/mm] die andere inklusion ist dann auch noch zu zeigen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Mo 19.07.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
> > Um nun die Exaktheit
> > der Sequenz zu zeigen muss man doch beweisen, dass
> > [mm]im(t)=ker(\pi)[/mm] oder?
>
> Ja, genau.
man sollte auch noch bemerken, dass $t$ injektiv (das heißt kern = bild bei $U$ gilt) und [mm] $\pi$ [/mm] surjektiv (das heißt kern = bild bei $V/U$ gilt) ist.
grüße
andreas
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