matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesSequenz mit Tensoren
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Sequenz mit Tensoren
Sequenz mit Tensoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Sequenz mit Tensoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Sa 11.06.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Seien K ein Körper, U,V,W,X K-Vektorräume und f [mm] \in Hom_{K}(U,V), [/mm] g [mm] \in Hom_{K}(V,W). [/mm] Angenommen 0 [mm] \rightarrow [/mm] U [mm] \stackrel{f}{\rightarrow} V\stackrel{g}{\rightarrow} W\rightarrow [/mm] 0 ist eine exakte Sequenz von K-Vektorräumen.

Man beweise, dass die Sequenz

0 [mm] \rightarrow [/mm] U [mm] \otimes [/mm] X [mm] \stackrel{f \otimes id_{x}}{\rightarrow} [/mm] V [mm] \otimes X\stackrel{g \otimes id_{x}}{\rightarrow} [/mm] W [mm] \otimes X\rightarrow [/mm] 0 exakt ist.

Hallo zusammen,


Ich muss also drei Sachen zeigen:

1. ker( f [mm] \otimes id_{x})=U \otimes [/mm] X
2. ker (g [mm] \otimes id_{x})=Bild(f \otimes id_{x}) [/mm]
3. W [mm] \otimes [/mm] X=Bild(g [mm] \otimes id_{x}). [/mm]

Das dritte habe ich schon gezeigt, bei den ersten beiden habe ich aber Probleme.

Da ich keine andere hatte, habe ich mir überlegt das mit Teilmengen zu zeigen.ker( f [mm] \otimes id_{x}) \subset [/mm] U [mm] \otimes [/mm] X  gilt nach Konstruktion.

Bleibt also noch zz: U [mm] \otimes [/mm] X [mm] \subset [/mm]  ker( f [mm] \otimes id_{x}). [/mm]

D.h. ich  muss zeigen: f [mm] \otimes id_{x}(u \otimes [/mm] x)=0. Es ist f(u) [mm] \otimes id_{x}(x)=f(u) \otimes [/mm] x=ker(g) [mm] \otimes [/mm] x.

Ab hier komme ich nicht mehr weiter.

zu 2: f [mm] \otimes id_{x}(v \otimes [/mm] x)=f(v) [mm] \otimes id_{x}(x)=ker(g) \otimes [/mm] x.
Stimmt das so?

Vielen Dank
lg

        
Bezug
Sequenz mit Tensoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:06 So 12.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Seien K ein Körper, U,V,W,X K-Vektorräume und f [mm]\in Hom_{K}(U,V),[/mm]
> g [mm]\in Hom_{K}(V,W).[/mm] Angenommen 0 [mm]\rightarrow[/mm] U
> [mm]\stackrel{f}{\rightarrow} V\stackrel{g}{\rightarrow} W\rightarrow[/mm]
> 0 ist eine exakte Sequenz von K-Vektorräumen.
>  
> Man beweise, dass die Sequenz
>  
> 0 [mm]\rightarrow[/mm] U [mm]\otimes[/mm] X [mm]\stackrel{f \otimes id_{x}}{\rightarrow}[/mm]
> V [mm]\otimes X\stackrel{g \otimes id_{x}}{\rightarrow}[/mm] W
> [mm]\otimes X\rightarrow[/mm] 0 exakt ist.
>  Hallo zusammen,
>  
>
> Ich muss also drei Sachen zeigen:
>  
> 1. ker( f [mm]\otimes id_{x})=U \otimes[/mm] X

Nein, der Kern muss trivial sein, also [mm] $\ker (f\otimes id_x) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] . Und nach Voraussetzung ist der Kern von f trivial: [mm] $\ker(f) [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] , also f injektiv. [mm] $id_X$ [/mm] ist auch injektiv.

>  2. ker (g [mm]\otimes id_{x})=Bild(f \otimes id_{x})[/mm]
>  3. [mm] W \otimes[/mm] X=Bild(g [mm]\otimes id_{x}).[/mm]
>  
> Das dritte habe ich schon gezeigt, bei den ersten beiden
> habe ich aber Probleme.
>  
> Da ich keine andere hatte, habe ich mir überlegt das mit
> Teilmengen zu zeigen.ker( f [mm]\otimes id_{x}) \subset[/mm] U
> [mm]\otimes[/mm] X  gilt nach Konstruktion.
>  
> Bleibt also noch zz: U [mm]\otimes[/mm] X [mm]\subset[/mm]  ker( f [mm]\otimes id_{x}).[/mm]
>  
> D.h. ich  muss zeigen: f [mm]\otimes id_{x}(u \otimes[/mm] x)=0. Es
> ist f(u) [mm]\otimes id_{x}(x)=f(u) \otimes[/mm] x=ker(g) [mm]\otimes[/mm]
> x.
>  
> Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
>  
> zu 2: [mm]f \otimes id_{x}(v \otimes x)=f(v) \otimes id_{x}(x)=ker(g) \otimes x[/mm]  .

[ok]

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Sequenz mit Tensoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 So 12.06.2011
Autor: Mandy_90

Hallo

> > Ich muss also drei Sachen zeigen:
>  >  
> > 1. ker( f [mm]\otimes id_{x})=U \otimes[/mm] X
>  
> Nein, der Kern muss trivial sein, also [mm]$\ker (f\otimes id_x)[/mm]
> = [mm]\{0\}[/mm] . Und nach Voraussetzung ist der Kern von f
> trivial: [mm]$\ker(f)[/mm] = [mm]\{0\}$[/mm] , also f injektiv. [mm]$id_X$[/mm] ist
> auch injektiv.

Achso. Ist es immer so, dass wenn f:0 [mm] \to [/mm] V, wobei V irgendeine Vektorraum, dass dann Bild(f)=0 ist?

lg

Bezug
                        
Bezug
Sequenz mit Tensoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:16 Mo 13.06.2011
Autor: felixf

Moin

> > > Ich muss also drei Sachen zeigen:
>  >  >  
> > > 1. ker( f [mm]\otimes id_{x})=U \otimes[/mm] X
>  >  
> > Nein, der Kern muss trivial sein, also [mm]$\ker (f\otimes id_x)[/mm]
> > = [mm]\{0\}[/mm] . Und nach Voraussetzung ist der Kern von f
> > trivial: [mm]$\ker(f)[/mm] = [mm]\{0\}$[/mm] , also f injektiv. [mm]$id_X$[/mm] ist
> > auch injektiv.
>
> Achso. Ist es immer so, dass wenn f:0 [mm]\to[/mm] V, wobei V
> irgendeine Vektorraum, dass dann Bild(f)=0 ist?

Ja. Da 0 aus genau einem Element besteht, muss auch das Bild aus genau einem Element bestehen. Und da das Bild immer 0 enthaelt, muss das Bild hier also gleich 0 sein.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Sequenz mit Tensoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:00 Mo 13.06.2011
Autor: Mandy_90


> > Achso. Ist es immer so, dass wenn f:0 [mm]\to[/mm] V, wobei V
> > irgendeine Vektorraum, dass dann Bild(f)=0 ist?
>  
> Ja. Da 0 aus genau einem Element besteht, muss auch das
> Bild aus genau einem Element bestehen. Und da das Bild
> immer 0 enthaelt, muss das Bild hier also gleich 0 sein.

Ok,alles klar. Vielen Dank euch beiden.

lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]