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Shiftoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mi 16.05.2012
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Sei [mm] 1\le p<\infty. [/mm]  Man betrachte die Shiftoperatoren [mm] L,R:l_p->l_p [/mm] mit [mm] K=\IC [/mm] und sind definiert durch [mm] L((x_1,x_2,...))=(x_2,x_3,...) [/mm] und [mm] R((x_1,x_2,...))=(0,x_1,x_2,...) [/mm]
Zeige, dass L,R stetig sind und berechne jeweils die Operatornorm.

Hallo
Irgendwie hab ich noch nicht den Durchblick bei Funktionalanalysis mit den ganzen Normen usw.

Zeige zuerst, dass L,R beschränkt sind(hier äquivalent zu stetig)
R beschränkt [mm] <=>\exists [/mm] a>0 [mm] \forall x\in l_p: \parallel [/mm] Rx [mm] \parallel_p \le a\parallel [/mm] x [mm] \parallel_p [/mm]
[mm] <=>(|0|^p+|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}}=(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} \le a*(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} [/mm] zum Beispiel für a=10

Für L bekommt man [mm] (|x_2|^p+|x_3|^p+...)^{\bruch{1}{p}} \le a*(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} [/mm] und das gilt für a=1

Nun zur Operatornorm:
[mm] \parallel R\parallel =\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}\parallel Rx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}(|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}}=1 [/mm]

[mm] \parallel L\parallel =\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}\parallel Lx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}(|x_2|^p+|x_3|^p+...)^{\bruch{1}{p}} [/mm]
Jetzt vielleicht eine künstliche Null einfügen
[mm] =>\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1}(-|x_1|^p+|x_1|^p+|x_2|^p+...)^{\bruch{1}{p}} [/mm]
Jetzt Minkowski-Ungleichung
[mm] \le -|x_1|+\parallel x\parallel_p \le -|x_1|+1 [/mm] und jetzt?

Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo

        
Bezug
Shiftoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mi 16.05.2012
Autor: fred97

Was machst Du da ?

Man sieht doch auf einen Blick, dass gilt:

     ||L(x)|| [mm] \le [/mm] ||x|| und ||R(x)||=||x||  für alle x [mm] \in l_p. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Shiftoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mi 16.05.2012
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
> Was machst Du da ?
>  
> Man sieht doch auf einen Blick, dass gilt:
>  
> ||L(x)|| [mm]\le[/mm] ||x|| und ||R(x)||=||x||  für alle x [mm]\in l_p.[/mm]
>  
> FRED

Ja, genau das hab ich versucht, etwas genauer aufzuschreiben.
Ist das, was ich zur Beschränktheit geschrieben habe, falsch?
Und wie sieht es mit der Operatornorm aus?
Und vielleicht könntest du auch sagen, ob das, was ich dazu geschrieben habe, falsch oder richtig ist und vielleicht, wenn es nicht zuviel verlangt ist, deine Antwort ein wenig erläutern, da ich noch nicht ganz auf der Höhe bin.

Gruß und vielen Dank
TheBozz-mismo

Bezug
                        
Bezug
Shiftoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Do 17.05.2012
Autor: fred97


> Hallo!
>  > Was machst Du da ?

>  >  
> > Man sieht doch auf einen Blick, dass gilt:
>  >  
> > ||L(x)|| [mm]\le[/mm] ||x|| und ||R(x)||=||x||  für alle x [mm]\in l_p.[/mm]
>  
> >  

> > FRED
> Ja, genau das hab ich versucht, etwas genauer
> aufzuschreiben.
> Ist das, was ich zur Beschränktheit geschrieben habe,
> falsch?

Nein, falsch ist da nichts , nur etwas kraus und verschwurbelt.


>  Und wie sieht es mit der Operatornorm aus?


Fangen wir mit L an:


Für x [mm] \in l_p [/mm] ist

           [mm] ||L(x)||^p_p=\summe_{i=2}^{\infty}|x_i|^p \le \summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^p=||x||^p_p. [/mm]

Also:

        [mm] ||L(x)||_p \le ||x||_p. [/mm]

Damit ist [mm] ||L||_p \le [/mm] 1.

Für x=(0,1,0,0,0,..) ist [mm] ||L(x)||_p [/mm] = [mm] ||x||_p. [/mm]

Fazit:  [mm] ||L||_p [/mm] =1.

Für R ist es einfacher.  Es gilt: [mm] ||R(x)||_p=||x||_p [/mm] für jedes x [mm] \in l_p. [/mm] Damit ist [mm] ||R||_p [/mm] =1.

FRED




>  Und vielleicht könntest du auch sagen, ob das, was ich
> dazu geschrieben habe, falsch oder richtig ist und
> vielleicht, wenn es nicht zuviel verlangt ist, deine
> Antwort ein wenig erläutern, da ich noch nicht ganz auf
> der Höhe bin.
>  
> Gruß und vielen Dank
> TheBozz-mismo


Bezug
                                
Bezug
Shiftoperator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:25 Fr 18.05.2012
Autor: TheBozz-mismo

Vielen Dank für deine ausührliche Hilfe!
Gruß
TheBozz-mismo

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