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Sigma-Algebra: Mengendifferenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Do 16.10.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\Omega\neq\emptyset$. [/mm]

Folgern Sie mit den Axiomen einer [mm] $\sigma$-Algebra: [/mm]

[mm] I)$\emptyset\in [/mm] F$

II) [mm] $A,B\in F\Rightarrow A\cap [/mm] B, [mm] A\Delta [/mm] B, [mm] A\setminus [/mm] B$ sind in $F$

III) [mm] $A_1, A_2, ...\in F\Rightarrow \cap_{n\in\mathbb{N}}A_n\in [/mm] F$


Hi,

ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe.

I) war ganz leicht. Auch III) sollte ich hinbekommen haben.

So wie ich das sehe benötige ich für die Aussage über [mm] $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus [/mm] A)$ zu erst, dass auch [mm] $A\setminus [/mm] B$ ist. Wenn ich das annehme kann ich es eigentlich recht leicht folgern.
Wo ich jedoch Probleme habe ist zu zeigen, dass

Wenn $A, [mm] B\in F\Rightarrow A\setminus B\in [/mm] F$

Also wenn $A$ und $B [mm] \in [/mm] F$ dann ist auch das jeweilige Komplement in F. Das man dies benötigt ist eigentlich klar, denn nur so bekommt man die Mengendifferenz ins Spiel. Allerdings weiß ich nicht so recht wie ich nun erreiche, dass ich [mm] $A\setminus [/mm] B$ habe.

Danke.

        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Do 16.10.2014
Autor: luis52

Moin, [mm] $A\setminus B=A\cap\overline{B}$ [/mm] ...

Bezug
                
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Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Do 16.10.2014
Autor: YuSul

Okay, also da [mm] $B\in [/mm] F$ ist auch [mm] $B^c\in [/mm] F$ und da wir ja schon wissen, dass der Schnitt von zwei Mengen wieder in der Sigma Algebra liegen ist dann auch

[mm] $A\cap B^c=A\cap(\Omega\setminus B)\in [/mm] F$

Somit [mm] $A\setminus B\in [/mm] F$

Dann hätte ich nun noch die Frage ob mein Beweis für [mm] $A\Delta [/mm] B$ korrekt ist.

Ich habe III) mit dem demorganschen Gesetz gefolgert. Das ist richtig, oder?

Bezug
                        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Do 16.10.2014
Autor: luis52


> Dann hätte ich nun noch die Frage ob mein Beweis für
> [mm]A\Delta B[/mm] korrekt ist.
>
> Ich habe III) mit dem demorganschen Gesetz gefolgert. Das
> ist richtig, oder?

[ok]

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Sigma-Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Do 16.10.2014
Autor: YuSul

Danke für die Hilfe.

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