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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Do 26.10.2006 | | Autor: | Stefanse |
| Aufgabe | Man zeige, dass die sigma-Algebra
[mm] \mathcal{A} [/mm] := { A [mm] \subseteq [/mm] R : A oder [mm] \overline{A} [/mm] ist abzählbar }
nicht abzählbar erzeugt ist. ( besitzt also keinen abzählbaren Generator )
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Ich komm hier leider nicht weiter, da ich mich an einer Sache
aufgehangen habe. Wenn ich nun B = [mm] \IQ \cap [/mm] [0,1] wähle, dann wäre
doch sigma(B)= {0, [0,1], [mm] \IQ \cap [/mm] [0,1], [mm] [0,1]ohne\IQ [/mm] } eine abzählbar
erzeugte Sigma-Algebra, da ja mein Generator B abzählbar ist und sigma
(B) eine Sigma-Algebra der Form [mm] \mathcal{A} [/mm] ist.
hab ich da jetzt einen Denkfehler drin? Wäre nett wenn mir jemand
weiterhelfen könnte. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Der Denkfehler liegt darin, dass es sich bei der Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] um die Menge aller Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] handelt, die entweder selbst abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist.
Natürlich gilt [mm] $\sigma(B) [/mm] = [mm] \{ \emptyset, \IR, B \bar{B} \}$, [/mm] aber das ist nicht die gleiche Sigma-Algebra.
Vielleicht hilft Dir ja folgende Überlegung bei der Bearbeitung der Aufgabe: die Menge $X = [mm] \{ A \subseteq \IN : A \mbox{ ist abzählbar unendlich} \}$ [/mm] ist überabzählbar. (Das soll nur einen Vorgeschmack auf die Art der zu verwendenden Argumente geben...)
Gruß und gute Nacht,
Lars
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