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Sigma-Algebra = P(X): Rückfrage, Idee
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:16 Fr 19/04/2019
Author: TS85

Aufgabe
Sei X abzählbar und [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] welche Punkte in X trennt, d.h. für beliebige [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X, [mm] x_1 \not= x_2, [/mm] existiert eine Menge A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] x_1 \in [/mm] A, [mm] x_2 \not\in [/mm] A. Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A}=P(X) [/mm] gilt.

Hallo,

ich möchte Ideen/Verbesserungsvorschläge einholen zu der Aufgabe.

Meine bisherigen "niederen" Gedankengänge sind:

Da [mm] x_1 \in [/mm] A, [mm] x_2 \not\in [/mm] A aber beide in X liegen und A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] muss [mm] x_2 \in A^c [/mm] sein.
[mm] \mathcal{A} [/mm] besteht also aus [mm] \{\emptyset, A, A^c, \{A, A^C\}\} [/mm] mit
X = [mm] \{A, A^c\}. [/mm]
Damit ist [mm] \mathcal{A}=P(X). [/mm]

Da mir diese Lösung allerdings als zu einfach und zu wenig durchdacht erscheint, frage ich nach.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:42 Fr 19/04/2019
Author: fred97


> Sei X abzählbar und [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra,[/mm]
> welche Punkte in X trennt, d.h. für beliebige [mm]x_1,x_2 \in[/mm]
> X, [mm]x_1 \not= x_2,[/mm] existiert eine Menge A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]x_1 \in[/mm] A, [mm]x_2 \not\in[/mm] A. Zeigen Sie, dass
> [mm]\mathcal{A}=P(X)[/mm] gilt.
>  Hallo,
>  
> ich möchte Ideen/Verbesserungsvorschläge einholen zu der
> Aufgabe.
>  
> Meine bisherigen "niederen" Gedankengänge sind:
>  
> Da [mm]x_1 \in[/mm] A, [mm]x_2 \not\in[/mm] A aber beide in X liegen und A
> [mm]\in \mathcal{A},[/mm] muss [mm]x_2 \in A^c[/mm] sein.

Das ist doch trivial.  Wenn [mm] x_2 [/mm] nicht in A liegt, so liegt [mm] x_2 [/mm] im Komplement von  A. Definition  des Komplements  !


> [mm]\mathcal{A}[/mm] besteht also aus [mm]\{\emptyset, A, A^c, \{A, A^C\}\}[/mm]


Mit  Verlaub,  das ist  Unsinn  ( und  nicht nachzuvollziehen ).


> mit
>  X = [mm]\{A, A^c\}.[/mm]

Wie kommst  Du denn darauf?



>  Damit ist [mm]\mathcal{A}=P(X).[/mm]

Es wird immer abenteuerlicher.  Deine Gedanken sind nicht  nachvollziehbar.

>  
> Da mir diese Lösung allerdings als zu einfach und zu wenig
> durchdacht erscheint, frage ich nach.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Was sage ich meinen  Studenten immer?  Das:  will  man etwas beweisen und verwendet nicht  alle Voraussetzungen,  so wirds nix  mit  dem Beweis.


In obiger  Aufgabe ist X abzählbar.  Verwende  das!

Versuche zu zeigen:  jede einelementige Teilmenge  von X gehört  zur  Sigma-Algebra.

Dann bist  Du fertig.  Warum?



Bezug
                
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:30 Fr 19/04/2019
Author: TS85

Das fehlerhafte Beweisen entsteht oftmals durch mangelndes Wissen, wie der Beweis überhaupt geführt wird.

Da heute ein Feiertag ist, wäre es sehr nett, wenn der Hinweis noch ein klein wenig präziser, einleitender sein könnte, damit ich es als einfacher Student
besser verstehen kann. Aktuell ist mir noch nicht vollkommen klar, was gemacht werden soll..

Bezug
                        
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:01 Fr 19/04/2019
Author: fred97


> Das fehlerhafte Beweisen entsteht oftmals durch mangelndes
> Wissen, wie der Beweis überhaupt geführt wird.
>
> Da heute ein Feiertag ist, wäre es sehr nett, wenn der
> Hinweis noch ein klein wenig präziser, einleitender sein
> könnte, damit ich es als einfacher Student
>  besser verstehen kann. Aktuell ist mir noch nicht
> vollkommen klar, was gemacht werden soll..


Wir nehmen uns mal ein x [mm] \in [/mm] X her und definieren:

$D(x):= [mm] \bigcap_{A \in \mathcal{A}, x \in A}A$. [/mm] Dann ist natürlich x [mm] \in [/mm] D(x).

Zeige nun Du, dass [mm] $D(x)=\{x\}$ [/mm] ist. Dazu verwende, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] punktetrennend ist.

Wenn wir nun noch zeigen können, dass D(x) abzählbarer Durchschnitt von Mengen aus [mm] \mathcal{A} [/mm] ist, sind wir fertig. Verwende dazu, dass X abzählbar ist.




Bezug
                                
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:21 Sa 20/04/2019
Author: TS85

Danke für den Hinweis, ich werde es mir bei Zeit nochmal genauer anschauen.
Mir ist nun ie Richtung des ganzen Beweises klar.

Bezug
                                
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:43 So 21/04/2019
Author: TS85

Ist meine Annahme richtig, dass es sich hierbei um einen Hausdorff-Raum handelt, bzw der Beweis damit in Verbindung steht?

Und das [mm] D(x)=\{x\} [/mm] eine Umgebung darstellt?

Bezug
                                        
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:02 So 21/04/2019
Author: fred97


> Ist meine Annahme richtig, dass es sich hierbei um einen
> Hausdorff-Raum handelt, bzw der Beweis damit in Verbindung
> steht?

Nein,  mit Topologie hat das nix  zu tun.

>  
> Und das [mm]D(x)=\{x\}[/mm] eine Umgebung darstellt?


Bezug
                                                
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:49 So 21/04/2019
Author: TS85

Eine letzte Frage:
Ist mein Verständnis richtig, dass gezeigt werden soll, dass in [mm] \mathcal{A} [/mm]
jede einelementige Teilmengen vorhanden sind, da deswegen aufgrund der Beschaffenheit der Sigma-Algebra auch die Komplemente jeder Teilmenge vorhanden sein müssen, wodurch die Potenzmenge entsteht?

Bezug
                                                        
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:56 So 21/04/2019
Author: TS85

Die Frage ist im Grunde überflüssig.

Bezug
                                                        
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:38 So 21/04/2019
Author: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ist mein Verständnis richtig, dass gezeigt werden soll,
> dass in [mm]\mathcal{A}[/mm]
>  jede einelementige Teilmengen vorhanden sind, da deswegen
> aufgrund der Beschaffenheit der Sigma-Algebra auch die
> Komplemente jeder Teilmenge vorhanden sein müssen, wodurch
> die Potenzmenge entsteht?

nein.
Weil bei einer abzaehlbaren Menge jede Teilmenge ebenfalls abzaehlbar ist. Damit ist jede Teilmenge als abzaehlbare Vereinigung von einelementigen Teilmengen automatisch in der Sigma-Algebra, falls die einelementigen Teilmengen zu dieser gehoeren.

In Formeln: $A = [mm] \bigcup_{x \in A} \{x\}$ [/mm]

Das funktioniert nicht mehr fuer bswp [mm] $\IR$. [/mm]
Natuerlich gilt $[0,1] = [mm] \bigcup_{x \in [0,1]} \{x\}$ [/mm] aber die Vereinigung ist nicht mehr abzaehlbar.

Gruss,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Sigma-Algebra = P(X): Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:18 So 21/04/2019
Author: TS85

Ok, der Grund ist ein anderer, aber trotzdem ähnlich.
Abzählbarkeit und dergleichen sollte ich mir nochmal genauer anschauen.

Bezug
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