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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 So 23.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei messbare Räume [mm] $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ [/mm] und [mm] $(\mathcal{Y},\mathcal{B})$ [/mm] (d.h. [mm] $\mathcal{X}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{Y}$ [/mm] sind beliebige Mengen und [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] sind Sigma-Algebren auf [mm] $\mathcal{X}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{Y}$).
[/mm]
Sei [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] die Menge der [mm] $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-messbaren [/mm] Abbildungen [mm] $h\colon\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$.
[/mm]
Gibt es eine Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{E}^\*$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{H}$, [/mm] so dass die Abbildung
[mm] $\Phi\colon\mathcal{H}\times\mathcal{X}\to\mathcal{Y},\quad (h,x)\mapsto [/mm] h(x)$
[mm] $(\mathcal{E}^\*\otimes\mathcal{A})$-$\mathcal{B}$-messbar [/mm] ist [mm] ($\mathcal{E}^\*\otimes\mathcal{A}$ [/mm] bezeichne dabei die Produkt-Sigma-Algebra der beiden Sigma-Algebren)? |
Hallo zusammen!
Obiges Problem hat sich für mich ergeben.
Am liebsten hätte ich gerne eine möglichst "natürliche" Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{E}^\*$ [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft.
Kann mir jemand bei diesem Problem weiterhelfen?
Es ist dazu nicht zwingend erforderlich, meine Versuche zu studieren.
Dennoch führe ich hier meine bisherigen Versuche an:
1. Versuch:
Ich wähle [mm] $\mathcal{E}^\*:=\left(\bigotimes_{x\in X}\mathcal{B}\right)|_\mathcal{H}$ [/mm] als Spur-Sigma-Algebra der Produkt-Sigma-Algebra [mm] $\bigotimes_{x\in\mathcal{X}}\mathcal{B}$ [/mm] auf der Menge [mm] $\prod_{x\in \mathcal{X}}\mathcal{Y}$ [/mm] aller Abbildungen [mm] $f\colon \mathcal{X}\to \mathcal{Y}$.
[/mm]
Problem: Ich scheitere am Nachweis der Messbarkeit von [mm] $\Phi$.
[/mm]
Frage: Kann jemand die Messbarkeit von [mm] $\Phi$ [/mm] bei dieser Wahl von [mm] $\mathcal{E}^\*$ [/mm] bejahen oder im Allgemeinen verneinen?
2. Versuch:
Ich betrachte die Menge [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] aller Sigma-Algebren auf [mm] $\mathcal{H}$, [/mm] bezüglich derer [mm] $\Phi$ [/mm] der Bedingung der [mm] $(\mathcal{E}\otimes\mathcal{A})$-$\mathcal{B}$-Messbarkeit [/mm] genügt.
Dann würde ich gerne [mm] $\mathcal{E}^\*:=\bigcap_{\mathcal{E}\in\mathbb{E}}\mathcal{E}$ [/mm] wählen.
Problem: Mir gelingt es nicht einmal zu zeigen, dass [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] nichtleer ist. Gleichbedeutend ist, dass wenigstens die Potenzmenge [mm] $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ [/mm] ein Element von [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] ist.
Frage: Sieht jemand, ob im Allgemeinen wenigstens [mm] $\mathcal{P}(\mathcal{H})\in\mathbb{E}$ [/mm] gilt?
Weiteres Problem: Es gelingt mir bisher nicht zu zeigen, dass [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] abgeschlossen unter (beliebigen) Durchschnitten ist, so dass selbst im Falle [mm] $\mathbb{E}\not=\emptyset$ [/mm] unklar bleibt, ob [mm] $\Phi$ [/mm] auch [mm] $(\mathcal{E}^\*\otimes\mathcal{A})$-$\mathcal{B}$-messbar [/mm] ist.
Frage: Kann jemand Licht in diese Unklarheit bringen?
Hinreichend wäre die Bedingung [mm] $\bigcap_{\mathcal{E}\in\mathbb{E}}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{A})\subseteq(\bigcap_{\mathcal{E}\in\mathbb{E}}\mathcal{E})\times\mathcal{A}$.
[/mm]
Frage: Kann jemand sagen, ob diese Bedingung stets zutrifft oder im Allgemeinen falsch ist?
Ich würde mich über jede Hilfe gerne auch zu Teilaspekten sehr freuen! 
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:19 Sa 29.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal!
Bevor die Fälligkeit meiner Frage abläuft, starte ich hiermit nochmal einen Versuch, die Frage zu "pushen".
Wie gesagt freue ich mich über jede Teilantwort!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:34 Sa 29.04.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo tobi,
soll die Frage denn überhaupt einen Fälligkeitszeitpunkt haben?
Also brauchst du bis zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Antwort, oder ist das eine Interessenfrage?
Ich habe über die Frage nachgedacht, aber aktuell leider nicht genug Zeit um das ausreichend lange zu tun
Gruß,
Gono
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"Measurable Spaces cartesian closed" führt in der Suchmaschine meiner Wahl auf ![[]](/images/popup.gif) diesen Link.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 29.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
Herzlichen Dank für deine Antwort!
Leider blicke ich trotzdem noch nicht wirklich durch, wie ich eine Antwort auf meine Frage ableiten kann. Vielleicht kannst du mir noch einmal weiterhelfen?
Zu deinem Link:
In den oberen beiden Antworten scheint es um Borel-Strukturen zu gehen, so dass ich keinen direkten Bezug zu meiner Frage ableiten kann.
Die dritte Antwort ("community wiki") scheint genau meine Frage zu adressieren. Sie versucht offenbar genau dass, was auch ich im 2. Versuch innerhalb meines Ausgangspostings versucht habe, ohne jedoch die Lücken in meinem Versuch zu schließen. Daher habe ich erhebliche Zweifel an der Korrektheit dieser Antwort.
Der vierten Antwort, die ein Gegenbeispiel zur dritten Antwort geben will, kann ich schon deshalb nicht folgen, da ich nicht weiß, was mit der Notation [mm] $B^C$ [/mm] für Sigma-Algebren B und C gemeint ist.
Schließlich behauptet die unterste Antwort, die Kategorie Meas der messbaren Räume mit messbaren Abbildungen als Morphismen sei bewiesenermaßen "monoidal closed".
Womit wir bei der Anwendung Kategorien-theoretischer Begriffe auf meine Fragestellung wären.
Schon deiner Anfrage an die Suchmaschine entnehme ich, dass meine Fragestellung etwas damit zu tun hat, ob die Kategorie Meas "cartesian closed" ist.
Kannst du mir diesen Zusammenhang benennen, ohne Kenntnisse in Kategorientheorie vorauszusetzen?
Ideal wäre eine Erklärung der Art: "Wenn Meas cartesian closed ist, dann bedeutet das für deine Frage ... . Wenn Meas nicht cartesian closed ist, bedeutet das für deine Frage ... ".
Meine Suchmaschine spuckt bei deiner Suchanfrage auch eine Seite aus, die behauptet zu beweisen, dass Meas nicht cartesian closed sei.
Widerspricht dies der Aussage, die Kategorie Meas sei monoidal closed?
Lässt sich sagen, ob Meas nun tatsächlich cartesian closed ist oder nicht?
Viele Grüße
Tobias
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"Let $I$ be the unit interval with the Borel [mm] $\sigma$-algebra. [/mm] There is no [mm] $\sigma$-algebra [/mm] on the set of measurable functions from $I$ to $I$ such that the evaluation functional [mm] $e\colon I\times I^I\longrightarrow [/mm] I$ given by $e(f,x)=f(x)$ is measurable."
Das sollte doch deine Frage ziemlich genau beantworten, oder? Wenn man dem Link in dieser ersten Antwort folgt, und die Fußnoten auf der ersten Seite ansieht, sieht man auch, dass in dieser Arbeit das altmodische Wort Borel-Struktur synonym zum modernen messbaren Raum verwendet wird (bis auf das sehr merkwürdige ausschließen des ganzen Raumes als messbare Teilmenge).
Dass eine Kategorie mit direkten Produkten (die Kategorie der messbaren Räume erfüllt das, das Produkt ist das Produkt messbarer Räume mit dem Tensorprodukt von [mm] $\sigma$-Algebren) [/mm] kartesisch abgeschlossen ist, bedeutet, dass es "interne Hom-Objekte" gibt, für die das currying-Prozedere von Mengen funktioniert. Zu dem currying-Prozedere gehört insbesondere die Auswertungsabbildung [mm] $\hom(X,Y)\times X\longrightarrow [/mm] Y$, nach der du gefragt hast.
Zwar müssen interne Homs, falls es sie gibt, nicht unbedingt als "Hom-Mengen mit geeigneter Zusatzstruktur" auftreten, aber häufig tun sie das, und deshalb ist die Frage, ob Meas kartesisch abgeschlossen ist, oder nicht, zumindest verwandt zu deiner Frage und hat mich zu diesem Suchbegriff inspiriert.
Wenn man dem Link der Antwort mit "monoidal closed" folgt, sieht man, dass es dort um ein anderes monoidales Produkt, als das kartesische Produkt geht und die Antwort deshalb wenig mit der Frage zu tun hat.
Wenn ich hätte raten müssen, ob Meas kartesisch abgeschlossen sei, hätte ich jedenfalls auch "Nein" gesagt, da sie sich in vielerlei Hinsicht wie Top verhält. Von Top ist sehr bekannt, dass man das analoge Problem hat: Man hat keine vernünftige Topologie auf dem Funktionenraum. Sodass man zum Beispiel der Intuition "Eine Homotopie [mm] ($I\times X\longrightarrow [/mm] Y$) von Abbildungen [mm] $f,g\colon X\longrightarrow [/mm] Y$ ist dasselbe, wie ein stetiger Weg zwischen diesen Abbildungen [mm] ($I\longrightarrow Y^X$)" [/mm] erstmal keine Bedeutung geben kann, (weil zweiteres keinen Sinn macht). Topologen arbeiten darum eher mit CGWH (kompakt erzeugte schwache Hausdorffräume), wo alles gut geht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Sa 29.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine Hilfe!
Ich glaube, jetzt ist meine Frage tatsächlich geklärt, wenn ich mit folgender Vermutung richtig liege:
> "Let [mm]I[/mm] be the unit interval with the Borel [mm]\sigma[/mm]-algebra.
> There is no [mm]\sigma[/mm]-algebra on the set of measurable
> functions from [mm]I[/mm] to [mm]I[/mm] such that the evaluation functional
> [mm]e\colon I\times I^I\longrightarrow I[/mm] given by [mm]e(f,x)=f(x)[/mm]
> is measurable."
>
> Das sollte doch deine Frage ziemlich genau beantworten,
> oder? Wenn man dem Link in dieser ersten Antwort folgt, und
> die Fußnoten auf der ersten Seite ansieht, sieht man auch,
> dass in dieser Arbeit das altmodische Wort Borel-Struktur
> synonym zum modernen messbaren Raum verwendet wird (bis
> auf das sehr merkwürdige ausschließen des ganzen Raumes
> als messbare Teilmenge).
Mit [mm] $I^I$ [/mm] ist hier die Menge der messbaren Abbildungen [mm] $I\to [/mm] I$ gemeint?
(Ich hatte, wie der Autor der dritten Antwort, fälschlicherweise unter einer Borel-Struktur einen messbaren Raum verstanden, dessen Sigma-Algebra die Borelsche Sigma-Algebra einer Topologie ist.)
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> Mit [mm]I^I[/mm] ist hier die Menge der messbaren Abbildungen [mm]I\to I[/mm]
> gemeint?
Ja.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Insofern handelt es sich nicht ausschließlich um eine Interessenfrage, auch wenn sie keinen klar definierten Fälligkeitszeitpunkt hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
