Sigma-Algebra mit Nullmengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum. Eine Menge A [mm] \subset [/mm] X heißt eine [mm] \mu-Nullmenge [/mm] falls es existiert B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit A [mm] \subset [/mm] B und [mm] \mu(B)=0.
[/mm]
[mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] heißt vollständig, falls jede [mm] \mu-Nullmenge [/mm] in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegt.
Zeigen Sie, dass
[mm] \mathcal{B}=\{B \subset X| \exists A,C \in \mathcal{A}: A \subset B \subset C, \mu(C\backslash A)=0\} [/mm]
eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist. |
Hallo liebe Matheliebhaber 
Habe mir über die Aufgabe Gedanken gemacht und bin mir aber bzgl. der Korrektheit nicht sicher....
i) [mm] \emptyset \in \mathcal{B}:
[/mm]
Sei [mm] B=\emptyset \Rightarrow \mu(B)=0 \Rightarrow \exists [/mm] A,C [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] C: [mm] \mu(C\backslash [/mm] A)=0, nämlich A=B=C= [mm] \emptyset \Rightarrow \emptyset \in \mathcal{B}
[/mm]
ii) B [mm] \in \mathcal{B} \Rightarrow B^{C} \in \mathcal{B}:
[/mm]
Sei A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] C, [mm] \mu(C\backslash [/mm] A)=0, [mm] \mu(B)=0.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] C [mm] \Rightarrow C^{C} \subset B^{C} \subset A^{C}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(A^{C}\backslash C^{C})=\mu(A^{C} \cap C^{C}^{C})=\mu(A^{C} \cap C)=\mu(C \cap A^{C})=\mu(C\backslash [/mm] A)=0.
Und [mm] \mu(B)=\mu(B\backslash B^{C})=\mu(B \cap B)=\mu(B \cup B)^{C}=\mu(B)^{C} [/mm] + [mm] \mu(B)^{C}=\mu(B^{C})+\mu(B^{C})=0 \Rightarrow [/mm] da das Maß von [mm] \mathcal{A} \rightarrow \overline{\IR}_{+} [/mm] abbildet, muss [mm] \mu(B^{C})=0 [/mm] sein. Also [mm] B^{C} [/mm] auch Nullmenge.
Also [mm] B^{C} \in \mathcal{B}
[/mm]
iii) [mm] B_{1},B_{2},... \in \mathcal{B} \Rightarrow \bigcup_{i \in \IN} B_{i} \in \mathcal{B}:
[/mm]
[mm] \mu(\bigcup_{i \in \IN} B_{i})=\sum_{i \in \IN} \mu(B_{i})=0. [/mm] Also unendliche Vereinigung von [mm] B_{i} [/mm] auch Nullmengen.
[mm] A_{1} \subset B_{1} \subset C_{1}
[/mm]
[mm] A_{2} \subset B_{2} \subset C_{2}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bigcup_{i \in \IN}A_{i} \subset \bigcup_{i \in \IN} B_{i} \subset \bigcup_{i \in \IN} C_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\bigcup_{i \in \IN}C_{i}\backslash \bigcup_{i \in \IN}A_{i})=\mu(\bigcup_{i \in \IN}C_{i}\backslash A_{i})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bigcup_{i \in \IN} B_{i} \in \mathcal{B}. [/mm] Also [mm] \mathcal{B} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
Wäre das so halbwegs richtig?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 So 03.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo derriemann!
> Sei [mm](X,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum. Eine Menge A [mm]\subset[/mm]
> X heißt eine [mm]\mu-Nullmenge[/mm] falls es existiert B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> mit A [mm]\subset[/mm] B und [mm]\mu(B)=0.[/mm]
> [mm](X,\mathcal{A},\mu)[/mm] heißt vollständig, falls jede
> [mm]\mu-Nullmenge[/mm] in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegt.
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\mathcal{B}=\{B \subset X| \exists A,C \in \mathcal{A}: A \subset B \subset C, \mu(C\backslash A)=0\}[/mm]
> eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> i) [mm]\emptyset \in \mathcal{B}:[/mm]
>
> Sei [mm]B=\emptyset \Rightarrow \mu(B)=0 \Rightarrow \exists[/mm]
> A,C [mm]\in \mathcal{A}:[/mm] A [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] C: [mm]\mu(C\backslash[/mm]
> A)=0, nämlich A=B=C= [mm]\emptyset \Rightarrow \emptyset \in \mathcal{B}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ii) B [mm]\in \mathcal{B} \Rightarrow B^{C} \in \mathcal{B}:[/mm]
>
> Sei A [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] C,
mit [mm] $A,C\in\mathcal{A}$
[/mm]
> [mm]\mu(C\backslash[/mm] A)=0, [mm]\mu(B)=0.[/mm]
Warum sollte [mm] $\mu(B)=0$ [/mm] gelten?
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] C [mm]\Rightarrow C^{C} \subset B^{C} \subset A^{C}[/mm]
Genau. Und [mm] $C^c,A^c\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \mu(A^{C}\backslash C^{C})=\mu(A^{C} \cap C^{C}^{C})=\mu(A^{C} \cap C)=\mu(C \cap A^{C})=\mu(C\backslash[/mm]
> A)=0.
Also gilt wie gewünscht [mm] $B^C\in\mathcal{B}$.
[/mm]
> Und [mm]\mu(B)=\mu(B\backslash B^{C})=\mu(B \cap B)=\mu(B \cup B)^{C}[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen stimmt nicht.
> [mm]=\mu(B)^{C}[/mm]
> + [mm]\mu(B)^{C}[/mm]
Auch das stimmt im Allgemeinen nicht. [mm] $B^C$ [/mm] und [mm] $B^C$ [/mm] sind ja typischerweise nicht disjunkt.
> [mm]=\mu(B^{C})+\mu(B^{C})=0 \Rightarrow[/mm] da das
> Maß von [mm]\mathcal{A} \rightarrow \overline{\IR}_{+}[/mm]
> abbildet, muss [mm]\mu(B^{C})=0[/mm] sein. Also [mm]B^{C}[/mm] auch
> Nullmenge.
Folgerichtig. Wozu möchtest du überhaupt haben, dass [mm] $B^C$ [/mm] eine [mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] ist?
> Also [mm]B^{C} \in \mathcal{B}[/mm]
> iii) [mm]B_{1},B_{2},... \in \mathcal{B} \Rightarrow \bigcup_{i \in \IN} B_{i} \in \mathcal{B}:[/mm]
>
> [mm]\mu(\bigcup_{i \in \IN} B_{i})=\sum_{i \in \IN} \mu(B_{i})[/mm]
Nein, die [mm] $B_i$ [/mm] müssen ja nicht paarweise disjunkt sein.
> [mm]=0.[/mm]
Nein, es muss nicht [mm] $\mu(B_i)=0$ [/mm] gelten.
> Also unendliche Vereinigung von [mm]B_{i}[/mm] auch Nullmengen.
Wegen [mm] $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}$ [/mm] existieren [mm] $A_1,C_1,A_2,C_2,\ldots\in\mathcal{A}$ [/mm] mit
> [mm]A_{1} \subset B_{1} \subset C_{1}[/mm]
> [mm]A_{2} \subset B_{2} \subset C_{2}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
und
[mm] $\mu(C_1\setminus A_1)=0$
[/mm]
[mm] $\mu(C_2\setminus A_2)=0$
[/mm]
[mm] $\vdots$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bigcup_{i \in \IN}A_{i} \subset \bigcup_{i \in \IN} B_{i} \subset \bigcup_{i \in \IN} C_{i}[/mm]
Ja. Außerdem [mm] $\bigcup_{i\in\IN}A_i,\bigcup_{i\in\IN}C_i\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \mu(\bigcup_{i \in \IN}C_{i}\backslash \bigcup_{i \in \IN}A_{i})=\mu(\bigcup_{i \in \IN}C_{i}\backslash A_{i})[/mm]
Das stimmt zwar letztendlich, aber es ist im Allgemeinen [mm] $(\bigcup_{i\in\IN}C_i)\setminus(\bigcup_{i\in\IN}A_i)\not=\bigcup_{i\in\IN}(C_i\setminus A_i)$.
[/mm]
Also müsstest du das näher begründen.
Tipp: Zeige nur [mm] "$\le$" [/mm] anstelle von "$=$".
> [mm]=0[/mm]
Auch hier wäre eine nähere Begründung angebracht.
> [mm]\Rightarrow \bigcup_{i \in \IN} B_{i} \in \mathcal{B}.[/mm] Also
> [mm]\mathcal{B}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
>
> Wäre das so halbwegs richtig?
Ja, von der Grundidee her richtig.
Viele Grüße
Tobias
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