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Sigma-Intervalle: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mo 20.02.2017
Autor: Hanz

Aufgabe
Eine Stadt plant den Bau eines Schwimmbads. Im Bauamt nimmt man an, dass etwa 45% der Bürger diese Maßnahme begrüßen werden. Eine Schülergruppe glaubt nicht, dass der Prozentsatz der Zustimmenden nur so gering sein soll und führt eine Befragung von 1000 Personen in der Innenstadt durch.
Bestimme das Sicherheitsintervall mit der Wahrscheinlichkeit von 95%, wenn die Annahme der Stadt stimmen soll.

Ich habe n=1000, p=0,45 und den Sigma-Wert von 1,96 gegeben.

Intervall: [mm] [\mu-1,96*\sigma; \mu+1,96*\sigma] [/mm] = [419,165; 480,835]

Alternativ kann ich das doch auch mit relativen Zahlen machen:

[mm] [p-1,96*\frac{\sigma}{n}; p+1,96*\frac{\sigma}{n}] [/mm] = [0,419165; 0,480835]

Absolute und relative Werte passen zusammen, alles ok.

Nun kommt meine eigentliche Frage: Mein Sitznachbar hat folgendes gerechnet:
n=1000, X/n=0,45 und eben sigma-Wert von 1,96

Dann: [mm] |\frac{X}{n}-p|\leq1,96*\frac{\sigma}{n} [/mm]
= [mm] |0,45-p|\leq1,96*\frac{\sqrt{1000*p*(1-p)}}{1000} [/mm]
=[0,419415; 0,480968]

Die Ergebnisse sind ja recht ähnlich, aber kann ich mein p einfach als X/n wählen und es dann so rechnen wie er???

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=576277

        
Bezug
Sigma-Intervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Mo 20.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Eine Stadt plant den Bau eines Schwimmbads. Im Bauamt nimmt
> man an, dass etwa 45% der Bürger diese Maßnahme
> begrüßen werden. Eine Schülergruppe glaubt nicht, dass
> der Prozentsatz der Zustimmenden nur so gering sein soll
> und führt eine Befragung von 1000 Personen in der
> Innenstadt durch.
> Bestimme das Sicherheitsintervall mit der
> Wahrscheinlichkeit von 95%, wenn die Annahme der Stadt
> stimmen soll.
> Ich habe n=1000, p=0,45 und den Sigma-Wert von 1,96
> gegeben.

Um bei solchen Fragen zielführend antworten zu können, wäre es auch immer gut zu wissen, welche Rechenhilfsmittel zugelassen waren.

-
>

> Intervall: [mm][\mu-1,96*\sigma; \mu+1,96*\sigma][/mm] = [419,165;
> 480,835]

>

Ich habe das mit der CAS-Kristallkugel nachgerechnet. Das Resultat war, dass die Rechnung stimmt und du eine Normalverteilung zugrunde gelegt hast.

> Alternativ kann ich das doch auch mit relativen Zahlen
> machen:

>

> [mm][p-1,96*\frac{\sigma}{n}; p+1,96*\frac{\sigma}{n}][/mm] =
> [0,419165; 0,480835]

>

> Absolute und relative Werte passen zusammen, alles ok.

Ja nun, das ist im Prinzip die gleiche Rechnung wie oben, von daher verwundert es nicht, dass auch die Resultate übereinstimmen.

> Nun kommt meine eigentliche Frage: Mein Sitznachbar hat
> folgendes gerechnet:
> n=1000, X/n=0,45 und eben sigma-Wert von 1,96

>

> Dann: [mm]|\frac{X}{n}-p|\leq1,96*\frac{\sigma}{n}[/mm]
> = [mm]|0,45-p|\leq1,96*\frac{\sqrt{1000*p*(1-p)}}{1000}[/mm]
> =[0,419415; 0,480968]

>

> Die Ergebnisse sind ja recht ähnlich, aber kann ich mein p
> einfach als X/n wählen und es dann so rechnen wie er???

Auch das ist offensichtlich eine zu deiner äquivalente Rechnung (weshalb?). In allen Fällen wurde die Standardabweichung der Binomialverteilung als Schätzer für die tatsächliche Standardabweichung herangezogen. Wenn man die obige Ungleichung löst, dann bekommt man exakt deine obigen Resultate und nicht die angegebenen. Zumindest mein CAS sagt das...


Gruß, Diophant

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