Sigma-Regeln < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Standardabweichung der Binomialverteilung sowie die Wahrscheinlichkeit des [mm] \sigma [/mm] -Intervalls.
a) p = 0,5 und n = 10; 25; 50; 100 |
Hallo,
diesmal geht es um die Sigma-Regeln. Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Intervalle bilden muss. Ich bin da jetzt hingegangen, habe den Erwartungswert und die Standardabweichung berechnet und habe dann Intervalle der Form [mm] [\mu [/mm] - [mm] \sigma [/mm] ; [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma [/mm] ]. Da kommen verständlicherweise krumme Werte heraus, mit denen ich nicht rechnen konnte. Also habe ich die Aufgerundet auf [4;7]. Für dieses Intervall bekomm ich die Wahrscheinlichkeit 0,77.. heraus. Laut meinem Buch und den dort gezeigten Sigmaregeln müsste dort aber etwas mit 0,68.. herauskommen.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Intervalle richtig gebildet habe bzw. richtig gerundet habe (ich habe stets aufgerundet, niemals ab). Kann mir dabei jemand helfen?
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Standardabweichung
> der Binomialverteilung sowie die Wahrscheinlichkeit des
> [mm]\sigma[/mm] -Intervalls.
>
> a) p = 0,5 und n = 10; 25; 50; 100
> Hallo,
>
> diesmal geht es um die Sigma-Regeln. Ich bin mir nicht ganz
> sicher, wie ich die Intervalle bilden muss. Ich bin da
> jetzt hingegangen, habe den Erwartungswert und die
> Standardabweichung berechnet und habe dann Intervalle der
> Form [mm][\mu[/mm] - [mm]\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] + [mm]\sigma[/mm] ]. Da kommen
> verständlicherweise krumme Werte heraus, mit denen ich
> nicht rechnen konnte. Also habe ich die Aufgerundet auf
> [4;7]. Für dieses Intervall bekomm ich die
> Wahrscheinlichkeit 0,77.. heraus. Laut meinem Buch und den
> dort gezeigten Sigmaregeln müsste dort aber etwas mit
> 0,68.. herauskommen.
Was macht die Binomialverteilung für hinreichend großes n? - sich der Normalverteilung annähern.
Insofern nähern sich die Wsl. für das entsprechende Intervall immer mehr 68% an. Wie du weißt kann man sich als Faustregel merken:
Wsl. dass : Zufallsvariable zwischen [ [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma [/mm] , [mm] \mu [/mm] - [mm] \sigma [/mm] ] liegt beträgt ca 68%.
Gruß Thomas
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Intervalle richtig
> gebildet habe bzw. richtig gerundet habe (ich habe stets
> aufgerundet, niemals ab). Kann mir dabei jemand helfen?
>
> Liebe Grüße,
>
> Ceriana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
Hallo,
also ich habe jetzt alle Aufgabenteile durchgerechnet, auch mit Standardabweichungen > 3 (Laplaceregel), und ich hab das auch mal von WolframAlpha mit n = 500 rechnen lassen. Von einer Annäherung an 68% merke ich da garnix, das nähert sich bei mir eher den 77% an..
Zum Beispiel für n = 100 meine Rechnung:
[mm] \mu [/mm] = 0.5*100 = 50
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{0.5*0.5*100} [/mm] = 5 ( > 3)
Intervall:
[50-5;50+5] = [45;55]
[mm] \summe_{i=45}^{55}\vektor{100 \\ i}*0.5^i*0.5^{100-i} [/mm] = 0.7287.. [mm] \approx [/mm] 72%
Mache ich da irgendwo einen Fehler oder sind meine Werte einfach zu klein, als dass sie sich diesen 68% annähern könnten?
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> Hallo,
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> also ich habe jetzt alle Aufgabenteile durchgerechnet, auch
> mit Standardabweichungen > 3 (Laplaceregel), und ich hab
> das auch mal von WolframAlpha mit n = 500 rechnen lassen.
> Von einer Annäherung an 68% merke ich da garnix, das
> nähert sich bei mir eher den 77% an..
>
> Zum Beispiel für n = 100 meine Rechnung:
>
> [mm]\mu[/mm] = 0.5*100 = 50
> [mm]\sigma[/mm] = [mm]\wurzel{0.5*0.5*100}[/mm] = 5 ( > 3)
>
> Intervall:
> [50-5;50+5] = [45;55]
>
> [mm]\summe_{i=45}^{55}\vektor{100 \\ i}*0.5^i*0.5^{100-i}[/mm] =
> 0.7287.. [mm]\approx[/mm] 72%
>
> Mache ich da irgendwo einen Fehler oder sind meine Werte
> einfach zu klein, als dass sie sich diesen 68% annähern
> könnten?
Hi Ceriana,
da in diesem Fall die Intervallgrenzen exakt auf
ganzzahlige Werte fallen, wäre es wohl angebracht,
jene Wahrscheinlichkeiten, die exakt auf diese
Grenzen fallen, jeweils nur mit halbem Gewicht
zu zählen, bzw. den Summanden an einer der
beiden Grenzen wegzulassen.
Versuche es deshalb mal mit
[mm]\summe_{i=45}^{54}\vektor{100 \\ i}*0.5^i*0.5^{100-i}[/mm]
Zur Erklärung: vergleiche ein Säulendiagramm
mit der Fläche unter der Gauß-Kurve. Wenn du
alle Säulen von i=45 bis und mit i=55 nimmst,
reicht die Breite aller dieser Intervalle von 44.5
bis 55.5 - du hast also eine Gesamtbreite von 11
anstatt [mm] 2*\sigma=10 [/mm] !
Damit sollte man den exakten Wert des Gauß-Integrals
etwas besser approximieren können.
Man spricht dabei auch von ![[]](/images/popup.gif) "Stetigkeits-Korrektur".
LG , Al-Chwarizmi
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> Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Standardabweichung
> der Binomialverteilung sowie die Wahrscheinlichkeit des
> [mm]\sigma[/mm] -Intervalls.
>
> a) p = 0,5 und n = 10; 25; 50; 100
> Hallo,
>
> diesmal geht es um die Sigma-Regeln. Ich bin mir nicht ganz
> sicher, wie ich die Intervalle bilden muss. Ich bin da
> jetzt hingegangen, habe den Erwartungswert und die
> Standardabweichung berechnet und habe dann Intervalle der
> Form [mm][\mu[/mm] - [mm]\sigma[/mm] ; [mm]\mu[/mm] + [mm]\sigma[/mm] ]. Da kommen
> verständlicherweise krumme Werte heraus, mit denen ich
> nicht rechnen konnte. Also habe ich die Aufgerundet auf
> [4;7]. Für dieses Intervall bekomm ich die
> Wahrscheinlichkeit 0,77.. heraus. Laut meinem Buch und den
> dort gezeigten Sigmaregeln müsste dort aber etwas mit
> 0,68.. herauskommen
Hallo Ceriana,
Für n=10 wird sigma ungefähr 1.58 .
Tatsächlich im Intervall $\ [mm] [\mu-\sigma\ [/mm] ....\ [mm] \mu+\sigma]$
[/mm]
liegen dann an ganzzahligen Werten nur die
Zahlen 4, 5 und 6, also insgesamt 3 Werte.
Da das Intervall die Länge $\ [mm] 2\,\sigma\approx [/mm] 3.16$
hat, ist es eigentlich ganz in Ordnung, auch nur
3 Summanden zu berücksichtigen. Nimmst
du einen vierten dazu (i=7), machst du jedenfalls
eher einen größeren Fehler als nur mit 3 Summanden.
Es ist ganz natürlich, dass die Binomialverteilung
für kleine Werte von n erst recht grob durch die
Normalverteilung approximiert wird.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
Das macht Sinn. Die teils unsinnigen Intervallgrenzen haben mich da ziemlich verwirrt. Die Normalverteilung haben wir übrigens noch nicht (und werden wir wahrscheinlich auch nie machen).
Danke für die Hilfe, jetzt ist mir einiges klarer :)
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Hallo Ceriana
> Das macht Sinn. Die teils unsinnigen Intervallgrenzen haben
> mich da ziemlich verwirrt. Die Normalverteilung haben wir
> übrigens noch nicht (und werden wir wahrscheinlich auch
> nie machen).
>
> Danke für die Hilfe, jetzt ist mir einiges klarer :)
OK.
Jetzt hätte ich aber selber noch eine Frage:
In welcher Weise werden denn da im Buch Sigma-Regeln
behandelt, wenn da die Normalverteilung nicht eben-
falls vorkommt ?
Könntest du da z.B. eine solche Regel zitieren ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Di 24.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
Die Sigmaregeln bestehen hier aus 6 Regeln:
1. [mm] P(\mu [/mm] - [mm] \sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] \sigma [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 68,3%
2. [mm] P(\mu [/mm] - [mm] 2*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 2*\sigma [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 95,4%
3. [mm] P(\mu [/mm] - [mm] 3*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 3*\sigma [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 99,7%
4. [mm] P(\mu [/mm] - [mm] 1,64*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 1,64*\sigma [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 90%
5. [mm] P(\mu [/mm] - [mm] 1.96*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 1,96*\sigma [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 95%
6. [mm] P(\mu [/mm] - [mm] 2,58*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 2,58*\sigma [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 99%
Das mit der Normalverteilung nicht falsch verstehen: Sie kommt zwar in unserem Buch vor (Lambacher Schweizer Qualifikationsphase NRW LK/GK), wir werden sie aber nicht behandeln, da sie für unser Abitur nicht relevant ist. Die morgige Klausur dreht sich allein um die Binomialverteilung.
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Hallo Ceriana,
> Die Sigmaregeln bestehen hier aus 6 Regeln:
>
> 1. [mm]P(\mu[/mm] - [mm]\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]\sigma[/mm] ) [mm]\approx[/mm] 68,3%
> 2. [mm]P(\mu[/mm] - [mm]2*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]2*\sigma[/mm] ) [mm]\approx[/mm]
> 95,4%
> 3. [mm]P(\mu[/mm] - [mm]3*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]3*\sigma[/mm] ) [mm]\approx[/mm]
> 99,7%
> 4. [mm]P(\mu[/mm] - [mm]1,64*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]1,64*\sigma[/mm] )
> [mm]\approx[/mm] 90%
> 5. [mm]P(\mu[/mm] - [mm]1.96*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]1,96*\sigma[/mm] )
> [mm]\approx[/mm] 95%
> 6. [mm]P(\mu[/mm] - [mm]2,58*\sigma \le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + [mm]2,58*\sigma[/mm] )
> [mm]\approx[/mm] 99%
>
> Das mit der Normalverteilung nicht falsch verstehen: Sie
> kommt zwar in unserem Buch vor (Lambacher Schweizer
> Qualifikationsphase NRW LK/GK), wir werden sie aber nicht
> behandeln, da sie für unser Abitur nicht relevant ist. Die
> morgige Klausur dreht sich allein um die
> Binomialverteilung.
Nun, die obigen Regeln kommen aber wirklich exakt
aus der Theorie der Normalverteilung. Sie dürfen also
nicht einfach wahllos bei irgendwelchen Wahrschein-
lichkeitsverteilungen eingesetzt werden, sondern nur
dann, wenn man gute Gründe hat, dass man (wenigstens
näherungsweise) von einer Normalverteilung ausgehen
kann.
Es trifft jedoch zu, dass Binomialverteilungen sehr gut
durch Normalverteilungen angenähert werden können,
falls N genügend groß und p weder allzunahe bei 0
noch allzunahe bei 1 liegt.
LG , Al-Chw.
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